價格波動的時空分形維度怎麼算

1、首先，將價格序列轉換成價格波動性序列，例如使用價格的一階差分或者對數差分等方法，將價格序列轉換為價格波動序列。

2、然後，需要將波動性序列進行分解，通常採用小波分解等方法將序列分解成多個不同頻率的分量。

3、接著，計算每個頻率分量的分形維度，可以使用箱計數法、赫斯特指數法等方法。

4、最後，將每個頻率分量的分形維度彙總得到整個序列的分形維度，通常使用加權平均法等方法進行綜合得出。

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2、然後，需要將波動性序列進行分解，通常採用小波分解等方法將序列分解成多個不同頻率的分量。

3、接著，計算每個頻率分量的分形維度，可以使用箱計數法、赫斯特指數法等方法。

4、最後，將每個頻率分量的分形維度彙總得到整個序列的分形維度，通常使用加權平均法等方法進行綜合得出。

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分形維數的計算方法有那些？能具體說一下嗎？

它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的區域性可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態，結構，資訊，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函式，集合論創始人康託（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康託集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利幹（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。二1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究訊號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康託集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似對映給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變數，主張用維數來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關於分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數嚴格大於其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由於相似維數只對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應用受到侷限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，將分形定義為區域性以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間資料列直接計算動力系統吸引子維數的演算法。1985年，曼德爾布羅特提出並研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集並可通過仿射對映嚴格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞迴集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，範圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鍾紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞迴集的維數。隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐步提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用並越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱鉅的任務。自然界中的分形，與概率統計、隨機過程關係密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產生出隨機康託集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。三動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函式的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標準二次對映迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄對映變形成勞威爾對映，其迭代下不穩定流形的極限整合為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康託集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函式系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函式，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：（！）區域性不連通的分形集；（2）區域性連通的分形擬圓周；（3）既不區域性連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。動力系統中另一類分形集來源於複平面上解析對映的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析對映的迭代把複平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想象力，因此他們的智力成就受到侷限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復對映fc ，其朱利亞集J（fc）隨引數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與對映係數的關係，解新局面瞭解析對映擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函式迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數對映的J集為複平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函式的J集與有理對映J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數對映Eλ的J（Eλ）集是康託束或複平面而J（fc）是康託塵或連通集。複平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的瞭解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是區域性連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的複雜圖形由許多不同週期的週期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況週期軌道整體解析特性。巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函式系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函式的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函式系近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函式系的J集。1985年巴斯萊等研究含引數的函式系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性對映系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性對映迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函式，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢匯出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。四分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是喁喁分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與複雜性，複數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關係，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開。

分形維數的詳細內容

計算分形維數的公式如圖，式中ε是小立方體一邊的長度， N （ε）是用此小立方體覆蓋被測形體所得的數目，維數公式意味著通過用邊長為ε的小立方體覆蓋被測形體來確定形體的維數。對於通常的規則物體 ，覆蓋一根單位 長度的線 段所需 的數目要 N （ε）=1/ε，覆蓋一個單位邊長的正方形，N(ε)=（1/ε）^2 ，覆蓋單位邊 長的立方體，N （ε）=（1/ε）^3。從這三個式子可見維數公式也適用於通常的維數含義。利用維數公式可算得科赫曲線的維數 d=1.2618，謝爾賓斯基海綿的維數d= 2.7268。對於無規分形，可用不同的近似方法予以計算，也可用一定的適當方法予以測定。

分維數的定義與計算

分形（B.B.Mandelbrot，1982）是其組成部分以某種方式與整體相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）.它是以分維數、自相似性、統計自相似性和冪函式等為工具，研究不具有特徵標度，極不規則和高度分割但具有自相似性的複雜現象（如地形起伏、雲朵、水系、樹的形態等），定量描述這種自相似性的引數稱為“分維數”或簡稱“分維”，記為D，它可以是分數.

維數是一定時空的數值特徵.普遍應用維數觀，正是現代非線性科學獲得的共識.低維與高維、有限維與無限維、整數維與分數維的轉化，在探索複雜世界的物質機制中已充分顯示了它的威力.

1919年數學家豪斯道夫引入豪斯道夫維.他提出連續空間的概念，也就是空間維數不是躍變的，而是連續變化的，即可以是整數，也可以是分數，通過具體計算來確定維，該維數稱為豪斯道夫維，記為Df.例如，對於三維圖形，考慮一個稜長為單位長度的立方體，若令每個稜邊長度放大兩倍，則立方體體積放大8倍，其表示式為23=8.例如，對於一個Df維的幾何物件，若每個稜邊長度都放大L倍，則這個幾何物件相應地放大K倍，其Df、L和K三者關係應為.該式兩邊取對數後，則Df=lnK/lnL.對具有奇異構形的分形，這裡Df一般是分數.豪斯道夫維數衍生的各種分形維數，如容量維、資訊維、關聯維、質量維、空隙維、相似維等等，可以從不同側面描述客觀世界的複雜現象.它們的一個共性，就是在雙對數座標系的尺度變換下，嚴格地或統計地保持不變.

在測量分維時，有一規律（通常稱為zero-sets）是有用的.傳統的歐氏幾何體與一平面相交，形成圖形的維數要減少一維；三維球變成二維圓；二維平面變成一維線；一維線變成零維點.分形和傳統的歐氏幾何體一樣，統計分形體的分維是D，在與其相交的平面上進行測量，分維是D-1，在與其相交的直線上測量，分維是D-2.它們與平面相交構成的圖形要減少一維；它們與直線相交形成的點集要減少二維.

不同的分維數往往刻畫不同的物理型別，劃分不同成因，不同性質的群體.如某些相變的發生只有在二維及以上的空間中才會出現，在一維的情況下就不行.因此，在研究某一類事物的規律時，往往需要藉助於分維數的差異來幫助判別和分析.例如，將具有不同面積的平面圖形放到一維座標系中，其測度（長度）都是無窮大；放到三維空間，其測度（長度）都是無窮小；只有在二維座標系中，它們在面積方面的差異才能顯現出來.另一方面，由點到線，由線到面和由面到體，隨著維數的增加，它們所刻劃的客體複雜程度也相應增加，且其佔領空間的能力也隨之增強.因此，維數的差異直觀地反映了客體複雜程度的差異.

分形的定義：設集合A∈En（En是n維歐氏空間）的豪斯道夫維為Df和拓撲維為Dt，如果公式Df≥Dt成立，則稱集合A是分形集（或分形）（A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension exceeds the topological dimension）.

例如康托爾集合，Df=ln2/ln3≈0.6301，而Dt=0，有Df＞Dt，故康托爾集合是一種分形.又如科曲折線，Df=ln4/ln3≈1.2618，而Dt=1，有Df＞Dt，故科曲折線也是一種分形.

由於研究的具體物件（分形）不同，其分維數計算的具體形式和名稱也有多種.最常見的分維數有相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D0、資訊維（information dimension）D1、關聯維（correlation dimension）D2和廣義維（generalized dimension）Dq.

1.相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D0

在測量地質體邊界的長度時，設測量尺度為r，覆蓋整個邊界的最少次數為N（r），此時將容量維數定義為：

分形混沌與礦產預測

將這一定義推廣到n維空間En（En為n維Euclide空間）中，上式中的r為覆蓋En中圖形所需的立方體的邊長或球體的直徑，N（r）為所需的立方體或球體的最少數目.可以證明D0=Df（豪斯道夫維數）.

2.資訊維（information dimension）D1

容量維數D0只考慮了覆蓋圖形所需的立方體或球體的數目與其邊長或直徑的關係.對於那些非確定性的事物，一般是用概率的形式表示出來的，為此引入資訊維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中Pi是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，Pi是分形結構中某些點落入小盒子的概率.如果Pi=1/N（r）時，則有D1=Df.

3.關聯維（correlation dimension）D2

P.Grassberger和J.Procaccia（1983）應用關聯函式C（r）給出了關聯維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中是相空間中兩點之間距離小於r的概率，|Xi-Xj|為兩點距離間的向量距離，r為指定的距離上限，，它是 Heavisideh函式.

4.廣義維（generalized dimension）Dq

分形混沌與礦產預測

式中Pi是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，Pi是分形結構中某些點落入小盒子的概率.當q取不同值時，Dq表示不同分維，如Dq=0=D0，Dq=1=D1，Dq=2=D2.應當注意上述分維數之間的關係只是形式上（或定義上）的，但在實際問題計算中，上述關係不一定成立.

5.分維Brown函式

嚴格的自相似性在自然界並不多見，為了描述大量自然形狀，需要用統計自相似性的概念來推廣分維的定義，這就要用到分維Brown函式.

設x∈En（En為n維Euclide空間），f（x）是關於點x的隨機實值函式，若存在常數H（0＜H＜1）使得函式：

分形混沌與礦產預測

是一個與x，Δx無關的分佈函式，則稱f（x）為分維Brown函式，其分維值為：DB=n+1-H.

分形維數表達的是一個什麼概念

表達了有一些看上去不規則的事物實際上可以用內在的規律表徵，這個表徵就是分形（fractal），表徵的程度就是分形維數（fractal dimension），分形更是一種認知自然世界的世界觀、方，你需要去看書，多看相關的東西，才能有深刻的瞭解，我只是編制過分形維數計算程式，有一些瞭解，好久都沒看了，加油好好學。。。

分形維數表達的是一個什麼概念啊？關聯維又是什麼意思啊？

看你這個問題有段時間了吧？算了，大概說說，以前接觸過混沌：

一般的維數概念源於歐式空間，但這種維數概念有一定侷限性

必須是整數，在描述一些不規則且不光滑物件時不是很理想

具有正常維數的圖形的一個重要性質：當對某一圖形的容積進行測量時

若用本維圖形的尺度進行測量，則測量的結果為有限值

用較低維數的尺度測量，則測量的結果無限大，用較高維數的尺度測量

則量度為0。分數維數就是對這種維數進行的擴充套件

分數維數有很多種定義，如豪斯道夫維、相似維、資訊維、盒維、關聯維等

關聯維是基於實驗資料提取分維的一種方法，相當於在不知背景相空間維數

的情況下，從少量的資料序列來提取維數的一種演算法。

請問關聯維數（分形維數）和分數維有什麼聯絡與區別？

關聯維數實際上是分形維數的一種，因為有很成熟的G-P演算法的存在，利於計算和應用。

分形維數除了用分形維數計算，還可以用盒子維數來計算，此外還有折線法等等。

關聯維數（分形維數）等於二減去赫斯特指數，分數維是赫斯特指數的倒數，都是經驗公式。很多情況下並不滿足，理論上的分形維數應該是豪斯道夫維數，但這很難計算。

分形的持續性怎麼判斷

1、首先確定分形物件及其邊界。

2、利用分形維數計算公式計算分形維數，常用的有盒維數和幾何維數兩種計算方法。

3、根據計算得到的分形維數來評估分形的持續性。分形維數越大，說明分形結構越複雜，持續性越好；反之，分形維數越小，說明分形結構越簡單，持續性越差。

地統計中如何求不同方向的分維數D？

scorplo(站內聯絡TA)可以先用gis軟體按照角度進行劃分吧，再根據gs+計算分形維數應該能行吧……bingyu74(站內聯絡TA)選擇這個方向上的所有點，然後求其半方差函式，不同的距離h下對應不同的半方差函式。將兩者取雙對數，然後求斜率D，把2-1/D的值作為分形維數。liuwq05(站內聯絡TA)樓: Originally posted by bingyu74 at 2012-02-21 10:06:10:

如何理解分形的維度

不同的尺度（大小）的同一種分形圖形之間具有某個共同的幾何引數，即這一引數是一個與尺度大小無關的不變數，這個量就是分形集合中的分數維。

分形維度用的是Hausdorff維度[1]，我們平時說的是Lesbesgue維度[2]。這兩個定義是不同的。

1、分形維數的誕生，告訴了我們自然世界並不是簡單的歐幾里德維數空間，而是還有更大的非歐幾何。同時，有的人說分形幾何是自然界的幾何，也一定程度上說明了分形幾何的維數是一個衡量自然界的圖形的變化情況的標準。

2、分形維數實際上相當於是一個尺子的標記，而這個尺子的適用範圍比較廣，不僅僅是用來求長度。

3、分形維數另外一方面也是一個標準，就是說明這個幾何圖形的變化情況，

具體定義有能力的話請看維基。

Lesbesgue維度定義在拓撲空間上，而Hausdorff維度定義在測度空間上。

後者可以看作定義了距離的拓撲空間，更特殊。

兩者都拓展了維度的定義，後者允許維度為非負實數，前者的維度仍是非負整數。

在分形集合上，經常不同。

平面上的填充曲線，其 Hausdorff 維度，根據定義，等於被填充的方塊的維度，等於 2。

維度探索之二：分形之美

令人目眩的萬花筒，螺旋紋路的西蘭花，它們之間存在什麼相似之處？

我們說“一花一世界，一樹一菩提”，說的是以小見大，從細微之處洞察巨集觀的哲學思考，而“ 一即是全，全即是一 ”，是我能想到的對分形最傳神的表達。無數自然景物中都存在這樣一個特點，你越是仔細去看，放大觀察，就能發現越多的細節，放大鏡下的世界，不僅沒有變得單調乏味，反而顯現出和正常尺度下相似的複雜性。想一想， 如果有這麼一樣東西，不管你怎麼放大它，看到的都是相似圖案的迴圈，在放大10000倍的一個角落裡，居然出現了和整個物體相同的花紋 ，這是多麼美妙的圖案！實際上，這就是 完美分形 的概念。

分形（Fractal）和物體的自相似性有很大聯絡 。生活裡面，我們發現許多自然生成的東西往往有極其複雜的細節，而且組成它們的微小部分就好像是整體的縮小版，它們在各個尺度上的複雜程度都很相似。蜿蜒的海岸線，發散的樹枝，海螺的斷面，這些都是自然生成的自相似圖形，它們可能還不那麼完美，但是一旦我們進入到理想世界，就可以構造出各種各樣的完美分形。

數學裡的分形可以說是從 康托爾集 （Cantor Set）開始的。取一個線段，把它中間的1/3去掉得到兩個分開的線段，再對剩下的兩段進行相同的操作，得到4個線段，這樣重複進行下去直到無窮，最後得到的圖形集合就是康托爾集。

這樣我們就用一個看似簡單的步驟得到了一個無限複雜的圖形，而且 它的每一個細節放大之後都和整體看起來一樣 ，這不是很神奇很有趣的一件事嗎！

類似地，我們來看看 科克曲線 （Koch snowflake）的構造過程。從一個正三角形開始，在它的每個邊上增加一個1/3大小的小三角，它就變成了一個六角星，接著在每個小三角的邊上繼續增加它的1/3大小的小三角，然後一直重複這個過程。

如果說康托爾集只是最平淡的分形作品，那麼科克曲線終於讓我們領略到了分形之美，總體看來它是一個雪花的形狀，放大之後，你會發現 它的細節就是本身形狀的無數次複製 ，沒有窮盡。聰明的你一定也發現了，這樣一個圖案會有非常奇怪的特性：它的 周長是無限大，面積卻不可能超過六角星的外接圓 ，它是一個無限複雜的封閉曲線，但 絕不會和自己相交 。

基於這些特性，著名數學家Mandelbrot聯想到了一個困擾了人們很多年的問題： 英國的海岸線究竟有多長？ 以此為題，他在 科學 雜誌上發表了對這一問題的深入探討，我們之所以測不準海岸線的長度，是因為 海岸線就是一個天然的分形 ，你測量的尺子越精細，得到的長度就會越長，隨著放大倍數的增大，海岸線呈現出來的細節也就越多。

最後我們來看一看這個以他的名字命名的Mandelbrot集合，這個集合在平面上繪製出來就是一個奇異的分型圖案，它集非常簡單的產生公式和無限複雜的影象為一體，是的，它就是這樣的一個怪物，所以曾被人們譽為“ 上帝的指紋 ”。

這一集合的產生是在一個二維平面內，具體來說是x軸是正常實數，y軸是對應複數的複平面。得到它的步驟是：

在平面內任取一點，例如（x,y）

讓 c =x+y

從a1=0開始迴圈計算這樣一個式子：

如果這個式子構成的數列是發散的，即最後趨近於無窮，那麼這個點（x,y）不在Mandelbrot集合之內；反之，如果這個數列是有邊界的，那麼這個點在集合之內。

如果根據這個規則，我們把平面內的所有的點都驗證一遍，就會畫出Mandelbrot集合這個圖案， 它本身的細節極其複雜，以至於放大了百億倍之後還呈現出精細的圖案，每一個細節又和整體極其相似 。

在這一影象剛剛被發現的時候，人們還不能看清它的精細結構，有大量數學家對這一發現表示不屑，他們認為分形沒有實際用途，甚至不應該屬於數學這一門類。但是很快，隨著電腦技術的興起，分形被廣泛運用到複雜影象的產生和處理上，其中包括大量電影裡的星球表面，山川起伏和液體噴射的畫面。

工程學上，我們很早就發現了它在天線設計領域的重要性，使用分形樣式的天線，不僅可以大大縮小天線的體積，還可以保證更好的收發效果，也 正是因為分形的這一應用，我們的手機才得以擺脫那些明顯的天線，做成現在這種簡約時尚的樣式 。到現在，幾乎所有的複雜工程建模裡都可以看到分形的身影了。

既然是維度探索，那麼我們就來談談分形和維度之間的巧妙聯絡吧。在上一篇維度探索中（ 維度探索：四維空間和更高維度 ），我們討論了從0維到的世界，以及降維觀察一個高維度物體的辦法，但是 提及的維度都是不小於0的整數維度，那麼存不存在不是整數的維度呢？ 從數學的角度來說，答案是肯定的。

首先我們來看看一個有趣的圖案，它的名字叫皮亞諾曲線（Peano Curve），它是通過不斷構造這種自相似的形狀最終把正方形填滿的一種曲線。

如果這樣一條本該是 一維的曲線卻憑藉分形特徵填滿了二維的形狀 ，那它到底是一維還是二維呢？

為了解決類似這樣的問題，我們需要了解一下分形維度，它的神奇之處在於，這種定義下的 維度可以是分數 ，也可以是 無理數 。也就是說存在這樣的分形，它的維度是log2(3)，或者是1.58。

想知道這是怎麼做到的，我們要先玩一個找規律的遊戲，以經典的 謝爾賓斯基三角形 （Sierpinski triangle）為例，來看看所謂分形維度是怎麼確定的吧：

1，我們找到一個長度為1的線段，再把它的尺寸縮小成原來的 0.5 倍，那麼要 2 個新的線段才能組成原來的線段。

2，接著找到一個面積為1的正方形，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的 0.5 倍，那麼要 4 個新的正方形才能組成原來的正方形。

3，同樣找到一個體積為1的正方體，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的 0.5 倍，那麼要 8 個新的正方體才能組成原來的正方體。

4，最後找到一個單位尺寸的謝爾賓斯基三角形，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的 0.5 倍，那麼要 3 個新的三角形才能組成原來的三角形。

關注上面出現的這幾組數字，我們就能解開分形維度的祕密：

對於普通的線段，縮放倍數是0.5時，新線段就是原來的0.5倍長，由於0.51=0.5，所以我們說線段是1維的；再看看正方形，縮放倍數是0.5的時候，新正方形是原來的0.25倍大，由於0.52=0.25，所以我們說正方形是2維的；同樣，正方體縮放倍數是0.5，小正方體只有原來的八分之一即0.125，而0.53=0.125，代表正方體為3維。（Tips：縮放倍數也可以不是0.5，如果取其他的倍數，對計算結果沒有影響。）

有興趣的小夥伴可以自行檢驗，謝爾賓斯基三角形的維度計算結果是1.585維，或者說是 之前提到過的log2(3)維（即log0.5(1/3)） 。按照這樣的定義，一個分形物體的維度就出現了無理數的情況，這是多麼的神奇！

課後習題時間：對於下圖這樣一個分形（在矩形邊上不斷增加小矩形邊得到的），它的分形維度又是多少呢？大家可以在留言裡寫下你的答案。

到這裡我們就完成了對分形維度的認識，或者可以叫它的另一個名字：Hausdorff維度。它的提出不僅解決了這種特殊的維度計算，還和整數維度的形體吻合得很好，就像我們的例子裡計算的那樣，不得不說是一個偉大的發現了。其實，分形維度更主要的是用來 形容形體的不規則程度 ，和我們一般理解的空間維度已經有所不同了，但還是會受到傳統意義上整數維度的約束，表現為平面上的分形維度在1到2之間，當然也有立體的分形，它們的維度也會更高。

為了幫助理解這種不規則度的評價方法，點選原文可以進入一個神奇的網站（ipfs），裡面列舉了許多形體的分形維度。在這裡我也找到了一些有趣的東西，例如西蘭花的分形維度是2.66，而人體肺部達到了2.97，也就是說 肺部的複雜程度比西蘭花要高 ，但實際上在傳統空間維度上來說，它們都是三維物體。

來源參考

https://ipfs.io/bef2022a/86ef3c3688dde6c89ab3297b354496a6e0326a2709d729def9f5037ed3fb2f52e5b0e5035f9de3764a74b848bc9e/a0eb0f30/9beb172daec2e9ed96967b4f2a4bbcbcf53e583436fe1fc3d1ad436ed0c03351d9becf3466c3e0.html

https://mathigon.org/world/Fractals

https://mathigon.org/a0ed163595/a5e7173684dfecd783/91f0053a85cce3c1/91f0053a85cce3c1.pdf

https://www..com/watch?v=gB9n2gHsHN4

Video by PBS: Hunting the hidden dimension (2008)

分形維數的計算方法有那些？能具體說一下嗎？

它與動力系統的混沌理論交叉結合，相輔相成。它承認世界的區域性可能在一定條件下。過程中，在某一方面（形態，結構，資訊，功能，時間，能量等）表現出與整體的相似性，它承認空間維數的變化既可以是離散的也可以是連續的，因而拓展了視野。分形幾何的概念是美籍法國數學家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數學家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構造了處處連續但處處不可微的函式，集合論創始人康託（G.Cantor，德國數學家）構造了有許多奇異性質的三分康託集。1890年，義大利數學家皮亞諾（G.Peano）構造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數學家科赫（H.von Koch）設計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數學家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數學家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質與量的研究，提出分數維概念。1928年布利幹（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應用於非整數維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質和奇異集的分數維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領域中作出了主要貢獻，從而產生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數概念。以後，這一領域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅們的工作只是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來。二1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態時，發現了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究訊號的傳輸誤差時，發現誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康託集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的數學分析中，發現類似規律。他總結自然界中很多現象從標度變換角度表現出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似對映給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質，轉向維數的研究，發現維數是尺度變換下的不變數，主張用維數來刻劃這類集合。1975年，曼德爾布羅特用法文出版了分形幾何第一部著作《分開：形狀、機遇和維數》。1977年該書再次用英文出版。它集中了1975年以前曼德爾布羅特關於分形幾何的主要思想，它將分形定義為豪斯道夫維數嚴格大於其拓樸維數的集合，總結了根據自相似性計算實驗維數的方法，由於相似維數只對嚴格自相似這一小類集有意義，豪斯道夫維數雖然廣泛，但在很多情形下難以用計算方法求得，因此分形幾何的應用受到侷限。1982年，曼德爾布羅特的新著《自然界的分形幾何》出版，將分形定義為區域性以某種方式與整體相似的集，重新討論盒維數，它比豪斯道夫維數容易計算，但是稠密可列集盒維數與集所在空間維數相等。為避免這一缺陷，1982年特里科特（C.Tricot）引入填充維數，1983年格拉斯伯格（P.Grassberger）和普羅克西婭（I.Procaccia）提出根據觀測記錄的時間資料列直接計算動力系統吸引子維數的演算法。1985年，曼德爾布羅特提出並研究自然界中廣泛存在的自仿射集，它包括自相似集並可通過仿射對映嚴格定義。1982年德金（F.M.Dekking）研究遞迴集，這類分形集由迭代過程和嵌入方法生成，範圍更廣泛，但維數研究非常困難。德金獲得維數上界。1989年，鍾紅柳等人解決了德金猜想，確定了一大類遞迴集的維數。隨著分形理論的發展和維數計算方法的逐步提出與改進，1982年以後，分形理論逐漸在很多領域得到應用並越來越廣泛。建立簡便盛行的維數計算方法，以滿足應用發展的需要，還是一項艱鉅的任務。自然界中的分形，與概率統計、隨機過程關係密切。確定性的古典分形集加入隨機性，就會產生出隨機康託集、隨機科契曲線等各種隨機分形。1968年，曼德爾布羅特研究布朗運動這一隨機過程時，將其推廣到與分形有關的分數布朗運動。1974年他又提出了分形滲流模型。1988年，柴葉斯（j.T.Chayes）給出了詳細的數學分析。1984年，扎樂（U.Zahle）通過隨機刪除而得到十分有趣的分形構造，隨機分形能更真實地描述和模擬自然現象。三動力系統中的分形集是近年分形幾何中最活躍和引人入勝的一個研究領域。動力系統的奇異吸引子通常都是分形集，它們產生於非線性函式的迭代和非線性微分方程中。1963年，氣象學家洛倫茲（E.N.Lorenz）在研究流體的對流運動時，發現了以他的名字命名的第一個奇異吸引子，它是一個典型的分形集。1976年，法國天文學家伊儂（M.Henon）考慮標準二次對映迭代系統時獲得伊儂吸引子。它具有某種自相似性和分形性質。1986年勞威爾（H.A.Lauwerier）將斯梅爾的馬蹄對映變形成勞威爾對映，其迭代下不穩定流形的極限整合為典型的奇異吸引子，它與水平線的截面為康託集。1985年，格雷波基（C.Grebogi）等構造了一個二維迭代函式系統，其吸附界是維爾斯特拉斯函式，並得到盒維數。1985年，邁克多納（S.M.MacDonald）和格雷波基等得到分形吸附界的三種類型：（！）區域性不連通的分形集；（2）區域性連通的分形擬圓周；（3）既不區域性連能又不是擬圓周。前兩者具有擬自相似性。動力系統中另一類分形集來源於複平面上解析對映的迭代。朱利亞（G.Julia）和法圖（P.Fatou）於1918-1919年間開創這一研究。他們發現，解析對映的迭代把複平面劃分成兩部分，一部分為法圖集，另一部分為朱利亞集（J集）。他們在處理這一問題時還沒有計算機，完全依賴於他們自身固有的想象力，因此他們的智力成就受到侷限。隨後50年間，這方面的研究沒有得到什麼進展。隨著可用機算機來做實驗，這一研究課題才又獲得生機。1980年，曼德爾布羅特用計算機繪出用他名字命名的曼德爾布羅特集（M集）的第一張圖來。1982道迪（A.Douady）構造了含參二次復對映fc ，其朱利亞集J（fc）隨引數C的變化呈現各種各樣的分形圖象，著名的有道迪免子，聖馬科吸引子等。同年，茹厄勒（D.Ruelle）得到J集與對映係數的關係，解新局面瞭解析對映擊集豪斯道夫維數的計算問題。茄勒特（L.Garnett）得到J（fc）集豪斯道夫維數的數值解法。1983年，韋當（M.Widom）進一步推廣了部分結果 。法圖1926年就就開始整函式迭代的研究。1981年密休威茨（M.Misiuterwicz）證明指數對映的J集為複平面，解決了法圖提出的問題，引起研究者極大興趣。發現超越整函式的J集與有理對映J的性質差異，1984年德萬尼（R.L.Devanney）證明指數對映Eλ的J（Eλ）集是康託束或複平面而J（fc）是康託塵或連通集。複平面上使J（fc）成為連通集的點C組成M集即曼德爾布羅特集，尤更斯（H.Jurgens）和培特根（H-O.Peitgen）認為，M集的性質過去一直是並且將來繼續是數學研究的一個巨大難題。通過將數學理論與計算機圖形學實驗加以融合，及道迪、扈巴德（H.Hubbard）等人在這方面進行的基礎性研究工作，在解決這一難題方面已取得重大進展，使人們加深了對M集的瞭解。道迪和扈巴德1982年證明M集是連通的和單連通的，人們猜測M集是區域性連通的，目前每一張計算機圖形都證實了這一猜測，但至今還沒有人能給予證明。M是否為弧連通，目前尚不清楚。M集邊界的維數也是值得研究的問題之一。M集除了將J集分成連通與非連通的兩類之外，還起著無窮個J集的圖解目錄表作用，即把M集C點周圍的圖形放大就是與C點有關的J集的組成部分。但這一發現的數學密性至今仍未確定，譚磊（Tan Lei）1985年證明了在每一個密休威茨點鄰近M集與相關的J集之間存在著相似性。尤金斯等在M集的靜電位研究中獲得與自然形貌相似的分形圖象。目前包括尤金斯等在內的很多研究人員都致力於藉助計算機活動錄象探索M集。其它一些分形集的研究工作正在取得進展。1990年德萬尼通過數值實驗觀察到M集的複雜圖形由許多不同週期的週期軌道的穩定區域共同構成。1991年黃永念運用他提出的代數分析法證明了這一事實，研究了M集及其廣義情況週期軌道整體解析特性。巴斯萊（B.M.Barnsley）和德門科（S.Demko）1985年引入迭代函式系統，J集及其其它很多分形集都是某些迭代函式的吸引集，用其它方法產生的分形集也可用迭代函式系近。1988年，勞威爾通過數值研究發現畢達哥拉斯樹花是一迭代函式系的J集。1985年巴斯萊等研究含引數的函式系迭代動力系統，得到M集D並D與M在連通性上的差異。在一線性對映系迭代下，可以產生著名的分形曲線——雙生龍曲線。1986年水谷（M.Mitzutani）等對其動力系統進行了研究。一般動力系統中的分形集，其豪斯道夫維數dH難以通過理論方法或計算方法求得。對於有迭式構造的分形集，貝德浮德（T.Bedford）等在1986年已給出卓有成效的演算法，但對一般非線性對映迭代動力系統產生的分形集，這些結果都難以應用，其豪斯道夫維數dH的結論與演算法實際上沒有。卡普蘭（j.L.Kaplan）和約克（J.A.York） 1979年引入李雅普洛夫維數dL並猜測dL=dH。1981年勒拉皮爾證明dH≤dL。楊（L.S.Young）1982年證明二維情況下dH=dL。艾茄瓦（A.K.Agarwal）等1986年給出例子說明高維情形卡普蘭-約克猜測不成立。這一猜測力圖從動力學特徵推斷幾何結構，其反問題是由吸引子維數推斷混沌力學，這是值得研究的問題。但目前工作甚少且主要限於計算機研究。此外，含參動力系統在混沌臨界態或突變處的分形集維數也有待進一步研究。多重分形（multifractals）是與動力系統奇異吸引子有關的另一類重要分形集，其概念首先由曼德布羅特和倫依（A.Renyi）引入。法默（J.D.Farmer）等在1983年定義了多重分形廣義維數。1988年博爾（T.Bohr）等人將拓撲熵引入多重分形的動力學描述與熱力學類比。1988年，阿內多（A.Arneodo）等人將子波變換用於多重分形研究。費德（J.Feder）、特爾（T.Tel）等人進行了多重分形子集及標度指數的研究。阿姆特里卡等研究了多重分形的逆問題，提出廣義配分函式，給出廣義超越維數，對過去的維數進行了修正。李（J.Lee）等發現了多重分形熱力學形式上的相變。1990年，伯克（C.Beck）得到廣義維數的上下界和極限並研究了多重分形的均勻性量度。曼德布羅特研究了隨機多重分形及負分維。1991年科維克（Z.Kov.acs）等引入雙變數迭代系統，最大特徵值和吉布斯勢匯出維數、熵、李雅普洛夫指數，提供了對多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形相變分類的一般方案。對於多重分形目前雖已提出不少處理方法，但從數學的觀點上看，還不夠嚴格，部分問題的數學處理難度也較大。四分形理論真正發展起來才十餘年，並且方興未艾，很多方面的理論還有待進一步研究。值得注意的是，近年分形理論的應用發展遠遠超過了理論的發展，並且給分形的數學理論提出了更新更高的要求。各種分形維數計算方法和實驗方法的建立、改進和完善，使之理論簡便，可操作性強，是喁喁分形的科學家們普遍關注的問題。而在理論研究上，維數的理論計算、估計、分形重構（即求一動力系統，使其吸引集為給定分形集）、J集和M集及其推廣形式的性質、動力學特徵及維數研究將會成為數學工作者們十分活躍的研究領域。多重分形理論的完善、嚴格以及如何用這些理論來解決實際問題可能會引起科學家們廣泛的興趣，而動力學特徵、相變和子波變換可能會成為其中的幾個熱點。在哲學方面，人們的興趣在於自相似性的普適性，M集和J集表現出的簡單性與複雜性，複數與實數的統一性，多重分形相變與突變論的關係，自組織臨界（SOC）現象的刻畫以及分形體系內部的各種矛盾的轉化等。可以預言，一場關於分形科學哲學問題的討論即將在國內展開。

分形維數的詳細內容

計算分形維數的公式如圖，式中ε是小立方體一邊的長度， N （ε）是用此小立方體覆蓋被測形體所得的數目，維數公式意味著通過用邊長為ε的小立方體覆蓋被測形體來確定形體的維數。對於通常的規則物體 ，覆蓋一根單位 長度的線 段所需 的數目要 N （ε）=1/ε，覆蓋一個單位邊長的正方形，N(ε)=（1/ε）^2 ，覆蓋單位邊 長的立方體，N （ε）=（1/ε）^3。從這三個式子可見維數公式也適用於通常的維數含義。利用維數公式可算得科赫曲線的維數 d=1.2618，謝爾賓斯基海綿的維數d= 2.7268。對於無規分形，可用不同的近似方法予以計算，也可用一定的適當方法予以測定。

分維數的定義與計算

分形（B.B.Mandelbrot，1982）是其組成部分以某種方式與整體相似的形（A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way）.它是以分維數、自相似性、統計自相似性和冪函式等為工具，研究不具有特徵標度，極不規則和高度分割但具有自相似性的複雜現象（如地形起伏、雲朵、水系、樹的形態等），定量描述這種自相似性的引數稱為“分維數”或簡稱“分維”，記為D，它可以是分數.

維數是一定時空的數值特徵.普遍應用維數觀，正是現代非線性科學獲得的共識.低維與高維、有限維與無限維、整數維與分數維的轉化，在探索複雜世界的物質機制中已充分顯示了它的威力.

1919年數學家豪斯道夫引入豪斯道夫維.他提出連續空間的概念，也就是空間維數不是躍變的，而是連續變化的，即可以是整數，也可以是分數，通過具體計算來確定維，該維數稱為豪斯道夫維，記為Df.例如，對於三維圖形，考慮一個稜長為單位長度的立方體，若令每個稜邊長度放大兩倍，則立方體體積放大8倍，其表示式為23=8.例如，對於一個Df維的幾何物件，若每個稜邊長度都放大L倍，則這個幾何物件相應地放大K倍，其Df、L和K三者關係應為.該式兩邊取對數後，則Df=lnK/lnL.對具有奇異構形的分形，這裡Df一般是分數.豪斯道夫維數衍生的各種分形維數，如容量維、資訊維、關聯維、質量維、空隙維、相似維等等，可以從不同側面描述客觀世界的複雜現象.它們的一個共性，就是在雙對數座標系的尺度變換下，嚴格地或統計地保持不變.

在測量分維時，有一規律（通常稱為zero-sets）是有用的.傳統的歐氏幾何體與一平面相交，形成圖形的維數要減少一維；三維球變成二維圓；二維平面變成一維線；一維線變成零維點.分形和傳統的歐氏幾何體一樣，統計分形體的分維是D，在與其相交的平面上進行測量，分維是D-1，在與其相交的直線上測量，分維是D-2.它們與平面相交構成的圖形要減少一維；它們與直線相交形成的點集要減少二維.

不同的分維數往往刻畫不同的物理型別，劃分不同成因，不同性質的群體.如某些相變的發生只有在二維及以上的空間中才會出現，在一維的情況下就不行.因此，在研究某一類事物的規律時，往往需要藉助於分維數的差異來幫助判別和分析.例如，將具有不同面積的平面圖形放到一維座標系中，其測度（長度）都是無窮大；放到三維空間，其測度（長度）都是無窮小；只有在二維座標系中，它們在面積方面的差異才能顯現出來.另一方面，由點到線，由線到面和由面到體，隨著維數的增加，它們所刻劃的客體複雜程度也相應增加，且其佔領空間的能力也隨之增強.因此，維數的差異直觀地反映了客體複雜程度的差異.

分形的定義：設集合A∈En（En是n維歐氏空間）的豪斯道夫維為Df和拓撲維為Dt，如果公式Df≥Dt成立，則稱集合A是分形集（或分形）（A fractal is by definition a set for which the Hausdorff Besicovitch dimension exceeds the topological dimension）.

例如康托爾集合，Df=ln2/ln3≈0.6301，而Dt=0，有Df＞Dt，故康托爾集合是一種分形.又如科曲折線，Df=ln4/ln3≈1.2618，而Dt=1，有Df＞Dt，故科曲折線也是一種分形.

由於研究的具體物件（分形）不同，其分維數計算的具體形式和名稱也有多種.最常見的分維數有相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D0、資訊維（information dimension）D1、關聯維（correlation dimension）D2和廣義維（generalized dimension）Dq.

1.相似維（similarity dimension）或容量維（capacity dimension）D0

在測量地質體邊界的長度時，設測量尺度為r，覆蓋整個邊界的最少次數為N（r），此時將容量維數定義為：

分形混沌與礦產預測

將這一定義推廣到n維空間En（En為n維Euclide空間）中，上式中的r為覆蓋En中圖形所需的立方體的邊長或球體的直徑，N（r）為所需的立方體或球體的最少數目.可以證明D0=Df（豪斯道夫維數）.

2.資訊維（information dimension）D1

容量維數D0只考慮了覆蓋圖形所需的立方體或球體的數目與其邊長或直徑的關係.對於那些非確定性的事物，一般是用概率的形式表示出來的，為此引入資訊維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中Pi是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，Pi是分形結構中某些點落入小盒子的概率.如果Pi=1/N（r）時，則有D1=Df.

3.關聯維（correlation dimension）D2

P.Grassberger和J.Procaccia（1983）應用關聯函式C（r）給出了關聯維數的定義：

分形混沌與礦產預測

式中是相空間中兩點之間距離小於r的概率，|Xi-Xj|為兩點距離間的向量距離，r為指定的距離上限，，它是 Heavisideh函式.

4.廣義維（generalized dimension）Dq

分形混沌與礦產預測

式中Pi是覆蓋概率，當用邊長為r的小盒子去覆蓋分形結構時，Pi是分形結構中某些點落入小盒子的概率.當q取不同值時，Dq表示不同分維，如Dq=0=D0，Dq=1=D1，Dq=2=D2.應當注意上述分維數之間的關係只是形式上（或定義上）的，但在實際問題計算中，上述關係不一定成立.

5.分維Brown函式

嚴格的自相似性在自然界並不多見，為了描述大量自然形狀，需要用統計自相似性的概念來推廣分維的定義，這就要用到分維Brown函式.

設x∈En（En為n維Euclide空間），f（x）是關於點x的隨機實值函式，若存在常數H（0＜H＜1）使得函式：

分形混沌與礦產預測

是一個與x，Δx無關的分佈函式，則稱f（x）為分維Brown函式，其分維值為：DB=n+1-H.

分形維數表達的是一個什麼概念

表達了有一些看上去不規則的事物實際上可以用內在的規律表徵，這個表徵就是分形（fractal），表徵的程度就是分形維數（fractal dimension），分形更是一種認知自然世界的世界觀、方，你需要去看書，多看相關的東西，才能有深刻的瞭解，我只是編制過分形維數計算程式，有一些瞭解，好久都沒看了，加油好好學。。。

分形維數表達的是一個什麼概念啊？關聯維又是什麼意思啊？

看你這個問題有段時間了吧？算了，大概說說，以前接觸過混沌：

一般的維數概念源於歐式空間，但這種維數概念有一定侷限性

必須是整數，在描述一些不規則且不光滑物件時不是很理想

具有正常維數的圖形的一個重要性質：當對某一圖形的容積進行測量時

若用本維圖形的尺度進行測量，則測量的結果為有限值

用較低維數的尺度測量，則測量的結果無限大，用較高維數的尺度測量

則量度為0。分數維數就是對這種維數進行的擴充套件

分數維數有很多種定義，如豪斯道夫維、相似維、資訊維、盒維、關聯維等

關聯維是基於實驗資料提取分維的一種方法，相當於在不知背景相空間維數

的情況下，從少量的資料序列來提取維數的一種演算法。

請問關聯維數（分形維數）和分數維有什麼聯絡與區別？

關聯維數實際上是分形維數的一種，因為有很成熟的G-P演算法的存在，利於計算和應用。

分形維數除了用分形維數計算，還可以用盒子維數來計算，此外還有折線法等等。

關聯維數（分形維數）等於二減去赫斯特指數，分數維是赫斯特指數的倒數，都是經驗公式。很多情況下並不滿足，理論上的分形維數應該是豪斯道夫維數，但這很難計算。

分形的持續性怎麼判斷

1、首先確定分形物件及其邊界。

2、利用分形維數計算公式計算分形維數，常用的有盒維數和幾何維數兩種計算方法。

3、根據計算得到的分形維數來評估分形的持續性。分形維數越大，說明分形結構越複雜，持續性越好；反之，分形維數越小，說明分形結構越簡單，持續性越差。

地統計中如何求不同方向的分維數D？

scorplo(站內聯絡TA)可以先用gis軟體按照角度進行劃分吧，再根據gs+計算分形維數應該能行吧……bingyu74(站內聯絡TA)選擇這個方向上的所有點，然後求其半方差函式，不同的距離h下對應不同的半方差函式。將兩者取雙對數，然後求斜率D，把2-1/D的值作為分形維數。liuwq05(站內聯絡TA)樓: Originally posted by bingyu74 at 2012-02-21 10:06:10:

如何理解分形的維度

不同的尺度（大小）的同一種分形圖形之間具有某個共同的幾何引數，即這一引數是一個與尺度大小無關的不變數，這個量就是分形集合中的分數維。

分形維度用的是Hausdorff維度[1]，我們平時說的是Lesbesgue維度[2]。這兩個定義是不同的。

1、分形維數的誕生，告訴了我們自然世界並不是簡單的歐幾里德維數空間，而是還有更大的非歐幾何。同時，有的人說分形幾何是自然界的幾何，也一定程度上說明了分形幾何的維數是一個衡量自然界的圖形的變化情況的標準。

2、分形維數實際上相當於是一個尺子的標記，而這個尺子的適用範圍比較廣，不僅僅是用來求長度。

3、分形維數另外一方面也是一個標準，就是說明這個幾何圖形的變化情況，

具體定義有能力的話請看維基。

Lesbesgue維度定義在拓撲空間上，而Hausdorff維度定義在測度空間上。

後者可以看作定義了距離的拓撲空間，更特殊。

兩者都拓展了維度的定義，後者允許維度為非負實數，前者的維度仍是非負整數。

在分形集合上，經常不同。

平面上的填充曲線，其 Hausdorff 維度，根據定義，等於被填充的方塊的維度，等於 2。

維度探索之二：分形之美

令人目眩的萬花筒，螺旋紋路的西蘭花，它們之間存在什麼相似之處？

我們說“一花一世界，一樹一菩提”，說的是以小見大，從細微之處洞察巨集觀的哲學思考，而“ 一即是全，全即是一 ”，是我能想到的對分形最傳神的表達。無數自然景物中都存在這樣一個特點，你越是仔細去看，放大觀察，就能發現越多的細節，放大鏡下的世界，不僅沒有變得單調乏味，反而顯現出和正常尺度下相似的複雜性。想一想， 如果有這麼一樣東西，不管你怎麼放大它，看到的都是相似圖案的迴圈，在放大10000倍的一個角落裡，居然出現了和整個物體相同的花紋 ，這是多麼美妙的圖案！實際上，這就是 完美分形 的概念。

分形（Fractal）和物體的自相似性有很大聯絡 。生活裡面，我們發現許多自然生成的東西往往有極其複雜的細節，而且組成它們的微小部分就好像是整體的縮小版，它們在各個尺度上的複雜程度都很相似。蜿蜒的海岸線，發散的樹枝，海螺的斷面，這些都是自然生成的自相似圖形，它們可能還不那麼完美，但是一旦我們進入到理想世界，就可以構造出各種各樣的完美分形。

數學裡的分形可以說是從 康托爾集 （Cantor Set）開始的。取一個線段，把它中間的1/3去掉得到兩個分開的線段，再對剩下的兩段進行相同的操作，得到4個線段，這樣重複進行下去直到無窮，最後得到的圖形集合就是康托爾集。

這樣我們就用一個看似簡單的步驟得到了一個無限複雜的圖形，而且 它的每一個細節放大之後都和整體看起來一樣 ，這不是很神奇很有趣的一件事嗎！

類似地，我們來看看 科克曲線 （Koch snowflake）的構造過程。從一個正三角形開始，在它的每個邊上增加一個1/3大小的小三角，它就變成了一個六角星，接著在每個小三角的邊上繼續增加它的1/3大小的小三角，然後一直重複這個過程。

如果說康托爾集只是最平淡的分形作品，那麼科克曲線終於讓我們領略到了分形之美，總體看來它是一個雪花的形狀，放大之後，你會發現 它的細節就是本身形狀的無數次複製 ，沒有窮盡。聰明的你一定也發現了，這樣一個圖案會有非常奇怪的特性：它的 周長是無限大，面積卻不可能超過六角星的外接圓 ，它是一個無限複雜的封閉曲線，但 絕不會和自己相交 。

基於這些特性，著名數學家Mandelbrot聯想到了一個困擾了人們很多年的問題： 英國的海岸線究竟有多長？ 以此為題，他在 科學 雜誌上發表了對這一問題的深入探討，我們之所以測不準海岸線的長度，是因為 海岸線就是一個天然的分形 ，你測量的尺子越精細，得到的長度就會越長，隨著放大倍數的增大，海岸線呈現出來的細節也就越多。

最後我們來看一看這個以他的名字命名的Mandelbrot集合，這個集合在平面上繪製出來就是一個奇異的分型圖案，它集非常簡單的產生公式和無限複雜的影象為一體，是的，它就是這樣的一個怪物，所以曾被人們譽為“ 上帝的指紋 ”。

這一集合的產生是在一個二維平面內，具體來說是x軸是正常實數，y軸是對應複數的複平面。得到它的步驟是：

在平面內任取一點，例如（x,y）

讓 c =x+y

從a1=0開始迴圈計算這樣一個式子：

如果這個式子構成的數列是發散的，即最後趨近於無窮，那麼這個點（x,y）不在Mandelbrot集合之內；反之，如果這個數列是有邊界的，那麼這個點在集合之內。

如果根據這個規則，我們把平面內的所有的點都驗證一遍，就會畫出Mandelbrot集合這個圖案， 它本身的細節極其複雜，以至於放大了百億倍之後還呈現出精細的圖案，每一個細節又和整體極其相似 。

在這一影象剛剛被發現的時候，人們還不能看清它的精細結構，有大量數學家對這一發現表示不屑，他們認為分形沒有實際用途，甚至不應該屬於數學這一門類。但是很快，隨著電腦技術的興起，分形被廣泛運用到複雜影象的產生和處理上，其中包括大量電影裡的星球表面，山川起伏和液體噴射的畫面。

工程學上，我們很早就發現了它在天線設計領域的重要性，使用分形樣式的天線，不僅可以大大縮小天線的體積，還可以保證更好的收發效果，也 正是因為分形的這一應用，我們的手機才得以擺脫那些明顯的天線，做成現在這種簡約時尚的樣式 。到現在，幾乎所有的複雜工程建模裡都可以看到分形的身影了。

既然是維度探索，那麼我們就來談談分形和維度之間的巧妙聯絡吧。在上一篇維度探索中（ 維度探索：四維空間和更高維度 ），我們討論了從0維到的世界，以及降維觀察一個高維度物體的辦法，但是 提及的維度都是不小於0的整數維度，那麼存不存在不是整數的維度呢？ 從數學的角度來說，答案是肯定的。

首先我們來看看一個有趣的圖案，它的名字叫皮亞諾曲線（Peano Curve），它是通過不斷構造這種自相似的形狀最終把正方形填滿的一種曲線。

如果這樣一條本該是 一維的曲線卻憑藉分形特徵填滿了二維的形狀 ，那它到底是一維還是二維呢？

為了解決類似這樣的問題，我們需要了解一下分形維度，它的神奇之處在於，這種定義下的 維度可以是分數 ，也可以是 無理數 。也就是說存在這樣的分形，它的維度是log2(3)，或者是1.58。

想知道這是怎麼做到的，我們要先玩一個找規律的遊戲，以經典的 謝爾賓斯基三角形 （Sierpinski triangle）為例，來看看所謂分形維度是怎麼確定的吧：

1，我們找到一個長度為1的線段，再把它的尺寸縮小成原來的 0.5 倍，那麼要 2 個新的線段才能組成原來的線段。

2，接著找到一個面積為1的正方形，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的 0.5 倍，那麼要 4 個新的正方形才能組成原來的正方形。

3，同樣找到一個體積為1的正方體，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的 0.5 倍，那麼要 8 個新的正方體才能組成原來的正方體。

4，最後找到一個單位尺寸的謝爾賓斯基三角形，把它的尺寸（邊長）縮小成原來的 0.5 倍，那麼要 3 個新的三角形才能組成原來的三角形。

關注上面出現的這幾組數字，我們就能解開分形維度的祕密：

對於普通的線段，縮放倍數是0.5時，新線段就是原來的0.5倍長，由於0.51=0.5，所以我們說線段是1維的；再看看正方形，縮放倍數是0.5的時候，新正方形是原來的0.25倍大，由於0.52=0.25，所以我們說正方形是2維的；同樣，正方體縮放倍數是0.5，小正方體只有原來的八分之一即0.125，而0.53=0.125，代表正方體為3維。（Tips：縮放倍數也可以不是0.5，如果取其他的倍數，對計算結果沒有影響。）

有興趣的小夥伴可以自行檢驗，謝爾賓斯基三角形的維度計算結果是1.585維，或者說是 之前提到過的log2(3)維（即log0.5(1/3)） 。按照這樣的定義，一個分形物體的維度就出現了無理數的情況，這是多麼的神奇！

課後習題時間：對於下圖這樣一個分形（在矩形邊上不斷增加小矩形邊得到的），它的分形維度又是多少呢？大家可以在留言裡寫下你的答案。

到這裡我們就完成了對分形維度的認識，或者可以叫它的另一個名字：Hausdorff維度。它的提出不僅解決了這種特殊的維度計算，還和整數維度的形體吻合得很好，就像我們的例子裡計算的那樣，不得不說是一個偉大的發現了。其實，分形維度更主要的是用來 形容形體的不規則程度 ，和我們一般理解的空間維度已經有所不同了，但還是會受到傳統意義上整數維度的約束，表現為平面上的分形維度在1到2之間，當然也有立體的分形，它們的維度也會更高。

為了幫助理解這種不規則度的評價方法，點選原文可以進入一個神奇的網站（ipfs），裡面列舉了許多形體的分形維度。在這裡我也找到了一些有趣的東西，例如西蘭花的分形維度是2.66，而人體肺部達到了2.97，也就是說 肺部的複雜程度比西蘭花要高 ，但實際上在傳統空間維度上來說，它們都是三維物體。

來源參考

https://ipfs.io/bef2022a/86ef3c3688dde6c89ab3297b354496a6e0326a2709d729def9f5037ed3fb2f52e5b0e5035f9de3764a74b848bc9e/a0eb0f30/9beb172daec2e9ed96967b4f2a4bbcbcf53e583436fe1fc3d1ad436ed0c03351d9becf3466c3e0.html

https://mathigon.org/world/Fractals

https://mathigon.org/a0ed163595/a5e7173684dfecd783/91f0053a85cce3c1/91f0053a85cce3c1.pdf

https://www..com/watch?v=gB9n2gHsHN4

Video by PBS: Hunting the hidden dimension (2008)