點火公式
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點火公式一般是指Wallis(華里士)公式。
Wallis(華里士)公式是關於圓周率的無窮乘積的公式,但Wallis公式中只有乘除運算,連開方都不需要,形式上十分簡單。雖然Wallis公式對π的近似計算沒有直接影響,但是在匯出Stirling公式中起到了重要作用。
Wallis公式是關於圓周率的無窮乘積的公式,公式內容如下:
其中
,
開方後還可以寫成:
公式證明
對這一公式的證明採用對 在 的積分完成:
令
用分部積分法
令
即
由
即為
變形後得到
由求極限的夾逼準則,得到
即為Wallis公式。
公式的變形
Wallis公式還有一些變形:
①
②
從①式可以看出Wallis公式的實質就是刻畫了雙接乘(2n)!!與(2n-1)!!之比的漸近性態。
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