雙曲線的方程 雙曲線方程怎麼寫

x2/2-y2/2=1 [編輯本段]·雙曲線的第一定義 數學上指一動點移動於一個平面上，與平面上兩個定點F1,F2的距離之差的絕對值始終為一定值2a(2a小於F1和F2之間的距離即2a[編輯本段]·雙曲線的第二定義1.文字語言定義 平面內一個動點到一個定點與一條定直線的距離之比是一個大於1的常數。

定點是雙曲線的焦點，定直線是雙曲線的準線，常數e是雙曲線的離心率。2.集合語言定義 設 雙曲線上有一動點M，定點F，點M到定直線距離為d， 這時稱集合{M| |MF|/d=e,e>1}表示的點集是雙曲線. 注意：定點F要在定直線外 且 比值大於1. 3.標準方程 設 動點M(x,y)，定點F(c,0)，點M到定直線l:x=a^2/c的距離為d， 則由 |MF|/d=e>1. 推匯出的雙曲線的標準方程為 （x^2/a^2）-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 這是中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線標準方程. 而中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線標準方程為： （y^2/a^2）-(x^2/b^2)=1.[編輯本段]·雙曲線的簡單幾何性質 1、軌跡上一點的取值範圍：x≥a,x≤-a（焦點在x軸上）或者y≥a,y≤-a（焦點在y軸上）。

2、對稱性：關於座標軸和原點對稱。 3、頂點：A(-a,0), A'(a,0)。

同時 AA'叫做雙曲線的實軸且∣AA'│=2a. B(0,-b), B'(0,b)。同時 BB'叫做雙曲線的虛軸且│BB'│=2b. 4、漸近線： 焦點在x軸：y=±（b/a）x. 焦點在y軸：y=±（a/b）x. 圓錐曲線ρ=ep/1-ecosθ當e>1時，表示雙曲線。

其中p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角 令1-ecosθ=0可以求出θ，這個就是漸近線的傾角。θ=arccos(1/e) 令θ=0，得出ρ=ep/1-e, x=ρcosθ=ep/1-e 令θ=PI，得出ρ=ep/1+e ,x=ρcosθ=-ep/1+e 這兩個x是雙曲線定點的橫座標。

求出他們的中點的橫座標（雙曲線中心橫座標） x=【（ep/1-e）+(-ep/1+e)】/2 （注意化簡一下） 直線ρcosθ=【（ep/1-e）+(-ep/1+e)】/2 是雙曲線一條對稱軸，注意是不與曲線相交的對稱軸。 將這條直線順時針旋轉PI/2-arccos(1/e)角度後就得到漸近線方程，設旋轉後的角度是θ' 則θ'=θ-【PI/2-arccos(1/e)】 則θ=θ'+【PI/2-arccos(1/e)】 帶入上式： ρcos{θ'+【PI/2-arccos(1/e)】}=【（ep/1-e）+(-ep/1+e)】/2 即：ρsin【arccos(1/e)-θ'】=【（ep/1-e）+(-ep/1+e)】/2 現在可以用θ取代式中的θ'了 得到方程：ρsin【arccos(1/e)-θ】=【（ep/1-e）+(-ep/1+e)】/2 5、離心率： 第一定義： e=c/a 且e∈（1，+∞）. 第二定義：雙曲線上的一點P到定點F的距離│PF│ 與 點P到定直線（相應準線）的距離d 的比等於雙曲線的離心率e. d點（│PF│）/d線（點P到定直線（相應準線）的距離）=e 6、雙曲線焦半徑公式（圓錐曲線上任意一點P(x,y)到焦點距離） 右焦半徑：r=│ex-a│ 左焦半徑：r=│ex+a│ 7、等軸雙曲線 一雙曲線的實軸與虛軸長相等 即：2a=2b 且 e=√2 8、共軛雙曲線 雙曲線S'的實軸是雙曲線S的虛軸 且 雙曲線S'的虛軸是雙曲線S的實軸時，稱雙曲線S'與雙曲線S為共軛雙曲線。

幾何表達：S:(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 S':(y^2/b^2)-(x^2/a^2)=1 特點：（1）共漸近線 （2）焦距相等 （3）兩雙曲線的離心率平方後的倒數相加等於1 9、準線： 焦點在x軸上：x=±a^2/c 焦點在y軸上：y=±a^2/c 10、通徑長：（圓錐曲線（除圓外）中，過焦點並垂直於軸的弦） d=2b^2/a 11、過焦點的弦長公式： d=2pe/(1-e^2cos^2θ) 或 2p/sin^2θ [p為焦點到準線距離，θ為弦與X軸夾角] 12、弦長公式： d = √（1+k^2）|x1-x2| = √（1+k^2）(x1-x2)^2 = √（1+1/k^2）|y1-y2| = √（1+1/k^2）(y1-y2)^2 推導如下： 由 直線的斜率公式：k = (y1 - y2) / (x1 - x2) 得 y1 - y2 = k(x1 - x2) 或 x1 - x2 = (y1 - y2)/k 分別代入兩點間的距離公式：|AB| = √[（x1 - x2）² + （y1 - y2）² ] 稍加整理即得： |AB| = |x1 - x2|√（1 + k²） 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k²） 雙曲線的概念 把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那麼點的軌跡會怎樣？它的方程是怎樣的呢？ 1.簡單實驗（邊演示、邊說明） 如圖2-23，定點F1、F2是兩個按釘，MN是一個細套管，兩條細繩分別拴在按釘上且穿過套管，點M移動時，|MF1|-|MF2|是常數，這樣就畫出曲線的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常數，可以畫出另一支. 注意：常數要小於|F1F2|，否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線. 2.設問 問題1：定點F1、F2與動點M不在平面上，能否得到雙曲線？ 請學生回答，不能.強調“在平面內”. 問題2:|MF1|與|MF2|哪個大？ 請學生回答，不定：當M在雙曲線右支上時，|MF1|>|MF2|；當點M在雙曲線左支上時，|MF1||F1F2|時，無軌跡. 3.定義 在上述基礎上，引導學生概括雙曲線的定義： 平面內與兩定點F1、F2的距離的差的絕對值是常數（小於|F1F2|）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距. 教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記. （三）雙曲線的標準方程 現在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時設問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什麼？不要求學生回答，主要引起學生思考，隨即引導學生給出雙曲線的方程的推導. 標準方程的推導： （1）建系設點 取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸（如圖2-24） 建立直。

雙曲線的一般式方程

1、焦點在X軸上時為：

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

2、焦點在Y 軸上時為：

y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1

雙曲線的主要特點：

軌跡上一點的取值範圍

│x│≥a（焦點在x軸上）或者│y│≥a（焦點在y軸上）。

對稱性

關於座標軸和原點對稱。

頂點

A(-a,0), A'(a,0)。同時 AA'叫做雙曲線的實軸且│AA'│=2a.

B(0,-b), B'(0,b)。同時 BB'叫做雙曲線的虛軸且│BB'│=2b.

F1(-c,0)F2(c,0).F1為雙曲線的左焦點，F2為雙曲線的右焦點且│F1F2│=2c

對實軸、虛軸、焦點有：a^2+b^2=c^2

在數學中，雙曲線（希臘語“ὑπερβολή”字面意思是“超過”或“超出”）是定義為平面交截直角圓錐面的兩半的一類圓錐曲線。它還可以定義為與兩個固定的點（叫做焦點）的距離差是常數的點的軌跡。這個固定的距離差是a 的兩倍，這裡的a 是從雙曲線的中心到雙曲線最近的分支的頂點的距離。a 還叫做雙曲線的半實軸。焦點位於貫穿軸上它們的中間點叫做中心。從代數上說，雙曲線是在笛卡爾平面上由如下方程定義的曲線使得，這裡的所有係數都是實數，並存在定義在雙曲線上的點對（x, y）的多於一個的解。注意在笛卡爾座標平面上兩個互為倒數的變數的影象是雙曲線。，雙曲線的影象無限接近漸近線，但永不相交。

由漸近線方程可知b/a=1/2，即a=2b。分2種情況，如果雙曲線的實軸位於x軸，則其方程為

(x-1)的平方/（2b）的平方-y的平方/b的平方=1

將直線y=x-3代入上式，可得 3x的平方-22x+35+4b的平方=0 -------(1)

弦長的平方=2*[(x1+x2)的平方-4*x1*x2]-----(2)，將1式中根與係數的關係代入到2式中，可解得b，好像是 b的平方=31/2。

如果雙曲線的實軸平行於y軸，則其方程為

-(x-1)的平方/（2b）的平方+y的平方/b的平方=1

用同樣的方法進行計算，有請樓主自行計算。

設雙曲線方程：

x²/a²-y²/b²=1

漸近線方程：y=±bx/a

∵漸近線與拋物線準線交點為（-√2/2,-1）

∴拋物線準線：x=-√2/2

∴拋物線焦點：（√2/2,0）

∵雙曲線右頂點與拋物線交點重合

∴a=√2/2

∴a²=1/2,y=√2bx

代入（-√2/2,-1）

-b=-1

∴b=1

∴b²=1

∴雙曲線標準方程：

2x²-y²=1