函式連續和極限存在的關係

有極限不一定連續，但是連續一定有極限。一個函式連續必須有兩個條件，一個是在此處有定義，另外一個是在此區間內要有極限，因此說函式有極限是函式連續的必要不充分條件。

函式y=f(x)當自變數x的變化很小時，所引起的因變數y的變化也很小。例如氣溫隨時間變化，只要時間變化很小，氣溫的變化也是很小的；又如自由落體的位移隨時間變化，只要時間變化足夠短，位移的變化也是很小的，對於這種現象，我們說因變數關於自變數是連續變化的，可用極限給出嚴格描述，設函式y=f(x)在x0點附近有定義，如果有lim(x->x0)f(x)=f(x0)，則稱函式f在x0點連續。如果定義在區間I上的函式在每一點x∈I都連續，則說f在I上連續，此時，它在直角座標系中的影象是一條沒有斷裂的連續曲線。

在某點連續的有限個函式經有限次和，差，積，商(分母不為0)運算，結果仍是一個在該點連續的函式。連續單調遞增（遞減）函式的反函式，也連續單調遞增（遞減）。連續函式的複合函式是連續的。