在微積分中怎麼求導

本文我們將從以下幾個部分來詳細介紹如何在微積分中求導：顯微分、隱微分、高階求導、鏈式法則

導數可以用來獲得一個曲線圖的很多資訊，包括最大、最小、峰值、谷值、斜率等等。甚至可以用導數來畫出複雜方程！不幸的是，算導數的過程一般挺冗長，但是這篇文章會教你怎麼簡單來做。

第1步：理解一下導數記號的意思。

下列兩種表示方法是最常見的，不過在這裡也可以找到各種記號方法。

萊布尼茨符號。如果有y 和x兩個變數，這是最常用的。 dy/dx 就是y關於x的導數。如果想成Δy/Δx可能會更好辦點， x 和 y 在這裡有極其微小的差別。這個表示式也表示導數的極限定義： limh->0 (f(x+h)-f(x))/h。表達二階導數的時候要寫 d2y/dx2

拉格朗日符號。f函式也被寫成 f(x)。這個唸作"f撇x"。這個記號比上面那個簡單，看起來也比較容易。要更高階的導數，只要給f加 " "，因此二階導數是f(x)。

第2步：理解一下導數的定義，和導數的用處。

首先若要找出直線的斜率，只要選取兩個點，把座標代入(y2 - y1)/(x2 - x1)。但是這隻適用於直線方程。要是要找曲線的斜率，要找兩個點，代入 [f(x + dx) - f(x)]/dx。 Dx表示"delta x，" 表示兩個x座標的差。注意這個公式和(y2 - y1)/(x2 - x1)差不多，只不過形式不同。因為曲線上用這種方法會出現偏差，所以要用非直接的方法找出斜率。要找出 (x, f(x))的斜率， dx 要趨於0，於是這兩個點會無限接近另一個點。但是分母也不能等於0，所以把兩個點的值代入以後，要用因式分解等等方法把分母的dx消掉。消掉後，讓dx 等於 0，得出等式。 這就是 (x, f(x))的斜率了。導數是用來找出任何曲線的斜率的一般公式。看起來很麻煩，但是下面有一些例子來解釋給你看。

第一部分：顯微分

第1步：如果一邊的y表示式已經有了，用顯導數解。

第2步：把等式代入[f(x + dx) - f(x)]/dx。

如 y = x2，代入後[(x + dx)2 - x2]/dx.

第3步：把因子展開成[dx(2x + dx)]/dx。

把上下兩個dx消去。得到2x + dx，讓dx 趨近 0, 得到2x。這表示任何y = x2 曲線的斜率是 2x。代入x，得到一個點的斜率

第4步：以下是類似形式的導數式。

任何次數的導數都是次數乘以原方程-1次。比如x5 的導數是 5x4， x3.5 導數是 3.5x2.5。若x前已有數字，直接和次數相乘就行。如3x4 求導得12x3。

任何常數的導數是0。 8 的導數是0

和的導數是導數的和。比如 x3 + 3x2 求導得3x2 + 6x

積的導數是第一項乘以後一項的導數加上後一項乘以前一項的導數。如 x3(2x + 1) 得 x3(2) + (2x + 1)3x2，即8x3 + 3x2

商的導數是(假設是 f/g形式) [g(f導數) - f(g導數)]/g2。(x2 + 2x - 21)/(x - 3) 求導得 (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2。

第二部分：隱微分

第1步：若寫不出y只在一邊的的表示式，就要用隱微分來求導了。

即便硬要把y寫到一邊，用 dy/dx 求導也很麻煩。下面例子告訴你如何解決這類問題

第2步：例子中 x2y + 2y3 = 3x + 2y，把y 替換成 f(x)，提醒你y是一個函式。

然後就會變成x2f(x) + 2[f(x)]3 = 3x + 2f(x) 。

第3步：要求導此方程，求等式兩側的關於x的微分（求導的專業術語），得到：x2f(x) + 2xf(x) + 6[f(x)]2f(x) = 3 + 2f(x).

第4步：再把 f(x) 換成 y 。

注意不要對f(x)也替換，因為這東西和f(x)不一樣。

第5步：解出f(x)。

之後答案就會變成(3 - 2xy)/(x2 + 6y2 - 2)。

第三部分：高階求導

第1步：一般情況下求高階導數意思是求導數的導數（即二階求導）。

如果叫你求三階導數，意思是求導數的導數的導數。有的例子高階導數會是0.

第四部分：鏈式法則

第1步：當y是 z的微分方程，z是x的微分方程，y是x的複合方程。

y關於x的導數 (dy/dx) 就是 (dy/du)*(du/dx)。鏈式法則可以用於複合次數項的等式，比如 (2x4 - x)3。要求導，只要類似求積法則，把整個等式乘以次數，把整個等式的次數減一。然後把整個等式乘以內部項的導數，（這裡是 2x4 - x）。答案就是3(2x4 - x)2(8x3 - 1)。

小提示

無論何時看到一個很複雜的求導問題，不要擔心，只要試試用乘積法則、商法則把方程切成儘量小的小塊，然後各項求導。

多練習練習乘積法則、商法則、鏈式法則，以及特別要注意的隱微分，這些東西在微積分中是難點。

要熟悉計算器使用。試試計算器不同的功能來解出導數。尤其要知道怎麼用切線、導數函式來解題（如果有這功能的話）

要把基本的三角函式求導原理和使用方法記住。

警告

不要忘了商法則中減號是在f[g(x)]前的。很多人犯這個錯。

參考

The Product Rule

Visual Calculus Implicit Differentiation

Implicit Differentiation Solution Problems

擴充套件閱讀，以下內容您可能還感興趣。

高數。微積分求導。過程。

2∫<0,a>tf(t)dt=f(a)-a²-1…………………………………………………………①

兩邊對a求導，得到：2af(a)=f'(a)-2a【參考變限積分函式的求導】

①中，令a=0，有：0=f(0)-0-1

所以，f(0)=1

令y=f(x)，已知：2xf(x)=f'(x)-2x

即，2xy=y'-2x=(dy/dx)-2x

==> 2x(y+1)=dy/dx

==> 2xdx=dy/(y+1)

==> ∫2xdx=∫dy/(y+1)

==> x²=ln(y+1)+C1

==> y+1=C*e^x²

==> y=C*e^x²-1

即，f(x)=C*e^x²-1

由第二問知，f(0)=1，代入得到：C=2

所以，f(x)=2e^x²-1追問方程左邊是常識，求導是零啊追答左邊是變積分限的定積分，得到的是關於a的表示式，而不是常數！

微積分導數問題

【解析】

首先，求出由求導法則求出非零時候的一階二階導數，用導數的定義求出等於零時候的一階二階導數值；然後，再判斷在x=0處的二階導數．

【解答】

證明：由題意,當x=0時,f′(0)=limx→0f(x)−f(0)x=limx→0x3sin1x=0，

當x≠0時,f′(x)=4x3sin1x−x2cos1x

∴f′(x)=⎧⎩⎨4x3sin1x−x2cos1x0,x≠0,x=0

∴當x=0時,f″(0)=limx→0f′(x)−f′(0)x=limx→0(4x2sin1x−xcos1x)=0，

當x≠0時,f″(x)=12x2sin1x−4xcos1x−2xcos1x−sin1x

∴f″(x)=⎧⎩⎨12x2sin1x−4xcos1x−2xcos1x−sin1x0,x≠0,x=0

∴f(x)在x=0處有二階導數存在,但f″(x)不連續追問你確定是這道題？複製貼上能不能有點水平

微積分 求導數

如圖

更多追問追答追答對數求導追問這是答案追答你約分化簡一下追問能不能根據這兩個公式求解呢？我是這樣算的，追答可以，但是太複雜追問左邊大括號裡的公因數和答案一模一樣，但是第二個就錯了

微積分。這個求導是什麼？？

對誰求導就把另一個字母當成常數。你的這個式子我沒看懂，撇你後面寫了個y，我實在理解不了是什麼意思。

大一微積分求導

高三的導數是很初等的,連極限都沒有細說,僅僅說了個“趨向於某個數”就講完了極限,實際上極限是微積分的基石,微積分就是算極限的過程,大學數學中極限從定義、運算到各種公式都有很嚴格的敘述和證明.導數的本質就是一種特殊形式的極限.況且,導數只是微積分的一小部分.高三學導數,完全是為了將題設函式通過求導法則轉化成二次函式或相關函式,再討論題設函式單調性.而大學數學在學完極限後,通過導數開啟微積分的大門,學得深入些,你會發現很多定理公式都與導數有關.在高三,導數已經是你從課本中學到的最高階的數學技巧了,而上了大學,導數是極其基礎的知識.大一微積分比高三導數深入很多很多.追問？