圓盤是正則曲面嗎

圓盤不是正則曲面，是一種幾何圖形。當一條線段繞著它的一個端點在平面內旋轉一週時，它的另一個端點的軌跡叫做圓。根據定義，通常用圓規來畫圓。同圓內圓的半徑長度永遠相同，圓有無數條半徑和無數條直徑。同時，圓又是正無限多邊形，而無限只是一個概念，所以，世界上沒有真正的圓。當多邊形的邊數越多時，其形狀、周長、面積就都越接近於圓（這也是為什麼人們所謂的圓只是正多邊形）。所以，圓實際上只是概念性的圖形。

小編還為您整理了以下內容，可能對您也有幫助：

正則曲面是什麼？

正則曲面

微分幾何研究的主要物件之一。直觀上，曲面是空間具有二個自由度的點的軌跡。設r＝(x,y,z)表示三維歐氏空間E3中點的位置向量,D是二維uυ- 平面的一個區域，對映： r(u,υ)＝(x(u,υ),y(u,υ),z(u,υ))((u,υ)∈D) (1)的像為S。它滿足下列條件:①r(u,υ)是Ck階的，即函式x(u,υ),y(u,υ)，z(u,υ)具有直到k階的連續偏導數,當它們是無窮次可微分函式或是（實）解析函式時，分別稱為是C∞階和Cω階的；②r(u,υ)是一個同胚，即它的逆對映S→D存在且連續；③r(u,υ)是正則的,即雅可比矩陣

的秩為2，也即那麼，S稱為E3的Ck曲面片， C∞曲面片也稱為光滑曲面片，Cω曲面片稱為解析曲面片。設慏為E3中的一個子集,如果對慏中任意點p，都有E3中p的一個開集V，使得V∩慏是E3中的一個Ck曲面片，則慏 稱為E3中的Ck曲面。 

(1)式稱為曲面的引數方程。此外,曲面有時也可用z=?(x,y)或F(x,y,z)=0來表示。 

什麼是正則曲面

如果曲面方程中的函式有直到k階的連續偏微商，則稱為k階正則曲面。

一個很奇怪的問題

無限集合的個數可否比較呢?

我知道你也許正在思考這樣一個問題,偶數和奇數誰多,偶數和自然數誰多,自然數和整數誰多.

呵呵,我可以告訴你最標準的答案,他們都是一樣多.

在無限集合裡是這樣定義一樣多的:

如果兩個集合之間存在一個一一對映,那麼這2個集合的個數就是一樣多.

因為偶數和整數之間存在這樣的關係:

對於每一個偶數,它的一半都是一個整數;

而對於沒一個整數,它的兩倍又是一個偶數.

存在著一一對應的關係,因此他們2個的元素個數是一樣的.

同理你也可以知道我前面提到的那些數域的關係也是元素個數一樣.

幾何圖形也存在著這樣的對應關係,比如一個線段和另一個線段,存在著一個對映使它們互相一一對映,這個對映畫出來有點像一個扇形的一條條豎的邊.

還可以同樣說明一個線段和一段弧線存在一一對映.

更復雜的,可以證明一個單位圓盤也可以和整個平面除去圓盤的部分一一對映,可以這樣映: 設圓盤圓心是O,對於圓盤內的每個點X,取圓盤外在OX射線上,但是到O的距離剛好是|OX|的倒數的點.

再往開點說,其實圓盤與整個平面也是一一對應的,任何封閉曲面之間也是一一對應的.

這些都說開了,希望你對這些有個認識.

我現在還具體跟你說說,整數和偶數個數是相同的,那麼它們到底有多少個?

也許你要說,無限多個,這個回答是正確的,但是是不確切的.

我們準確地說,整數和偶數的個數是"可列"多個的.

什麼叫"可列"個? 就是這些數能按數列那樣,一個一個往下列下去.

顯然整數偶數自然數這些都可以,更深入地說,有理數也可以,但是列的規則就比較難找.

凡是"可列"個元素組成的集合,我們都認為它們的元素個數是相等的,它們也是互相可以一一影射的.

那麼"可列"多個和無窮多個又有什麼關係呢?

我告訴你一個有趣的結論,"可列"多個是無窮多個裡面層次最低,元素個數最少的.

雖然同樣是無窮多個,還會有的無窮集合裡的元素個數比可列個更多.

比如實數的個數,

實數的個數被稱為"阿列夫"個,它的個數可以認為是"可列個"的集合的冪集的元素個數.

我們先不深究這"阿列夫"個實際是多少,我只在這裡告訴你為什麼它比可列個多.

因為它是不可列的,實數集不可能像整數那樣一個個往下列,因為你永遠不知道下一個該列的是什麼,不管你的下一個數字和現在這個數字差的再小,這之間仍然有無窮多個點沒被列出來(事實上可以假設實數可以被列為{a1,a2,...,an}，然後反證).

除了實數集有"阿列夫"個元素,還有比如線段裡的點的個數,平面上點的個數,無理數的個數,都是"阿列夫"個.

而"可列個"元素相對與"阿列夫"個來說,可以忽略不計,用可列個元素除以"阿列夫"個,結果是趨近於0的.

舉個例子: [0,1]內的所有有理數點湊在一起所佔區間的長度是趨近於0的,而無理點湊在一起幾乎夠成整個區間,無理數比有理數多的多!!

圓錐面是正則曲面嗎

錐頂點不算正則點，因為此處不可導

【PBRT】補充知識——曲線和曲面的微分幾何

pbrt的實現中，對球體進行了建模，而球的表面是曲面，所以，表示球面就用到了球的曲面引數方程。不僅如此，反走樣技術中用到了曲面的其他屬性（比如說曲率），所以，我就專門學了曲線和曲面的相關知識，在此做一個總結，複習學到的內容，並且希望能對想要連線曲線和曲面相關知識的讀者有所幫助。

由於作者水平所限，文中如果有錯誤或者沒有解釋到位的地方，還請讀者不吝指正。

本文主要討論的內容是：可微引數曲線的定義、曲線的曲率、曲線的擾率、正則曲面的定義、第一基本形式、第二基本形式。

在實踐過程中，我們要處理的大多數曲線都是引數曲線，而且都是可微的，所以，給一個引數曲線的定義不如給一個可微引數曲線的定義。下面是 可微引數曲線 的定義：

從定義中可以看出，曲線本質上是一種對應關係，這種對應可以看成是一種函式，把一維空間中的元素對映到三維空間中去。那麼顯示生活中，啥東西是一維的呢？想來想去，只有一個東西是一維的，那就是時間！所以，引數曲線也可以看成是， 一個點在三維空間中隨著時間運動的軌跡 ！

來看一個引數曲線的例子——螺旋線

曲線在某一點的切線意味著其在當前點的運動方向和速度，對研究曲線來說，切向量非常重要，幾乎所有的定理或者公式都有切向量，所以，它是既曲線的定義之後，第二大重要的概念。

切向量的定義是：

這個很容易理解，在學習微積分的時候，如何理解導數就是瞬時速度（雖然瞬時速度在現實生活中是不存在的），在一小段時間內，小車行駛的距離與這段時間的比值，不斷將這段時間縮短，取其極限就成了瞬時速度。把這個概念用到曲線上，曲線的切向量就是這樣推匯出來的（上圖中的 就是t點的切向量）。

計算曲線的弧長需要用到曲線的切向量，如果曲線在某一點沒有切向量，這種曲線我們沒法處理，而之前定義的可微引數曲線就解決了這個問題，可微引數曲線保證曲線是處處可導的（有切向量）。

但是光可微還不夠，我們還需要一個條件，那就是曲線的一階導數不為0。這就引出了 正則曲線 的定義。

然後，弧長的計算公式如下：

這裡不用 來表示是因為這個公式中只有一個變數那就是 ，而 是積分的上限，其餘的比如 ， 在這個式子中都不是變數。所以 本質上是一個關於積分上限 的函式。

我們不妨這麼來看，令 ，則積分等式右邊變成了 ，然後 積分之後變成 ，於是弧長計算公式就變成：

也就是 ，因為 是一個常量，所以整個式子就是一個關於 的函式。

還有一點要注意的是，對 積分之後，跟 沒有半毛錢關係，也就是說 不能表示成 ，取 的長度會把表示式變成一個完全不同的函式，和 不再有什麼關係。

對一條曲線來說，我們很自然地會去考慮，這條曲線到底有多“曲”？那麼，在數學上，怎麼表示這個彎曲程度呢？答案是： 曲率 。

下面是曲率的定義：

乍一看，曲率的定義過於苛刻了，因為它要求曲線的引數正好是其弧長，這點似乎很難辦到，但是我們在實際的應用過程中，這點還是比較容易辦到的，因為：

也就是說如果我有一條曲線，就說是 吧，這個 不是弧長。我可以找到一條曲線 ，使得這個 正好是 的弧長。並且，這個 和 是同一條曲線！然後，曲率的定義就可以在 上應用了，因為它喝 是同一條曲線，所以 的曲率也就是 的曲率。

以弧長為引數的曲線還有一個好處，就是 和 是垂直的。因為假如我們用弧長計算公式去計算的話，我們得到的結果是 ，這個正好等於 ，也就是說 正好是1，並且恆等於1。即

成立。那麼我們可以得到 ，對等式兩邊求導（運用乘積公式）得 ，化簡得

也就是說 與 是垂直的。

現在我們知道曲線有多“曲”了，它的彎曲程度是 ，這是一個純量。那麼，它的幾何意義是什麼？

我們可以很直觀地想到，如果 越大，那麼這條曲線在點 的附近就會越彎曲。所以，曲率的幾何意義就是，當 增加一個微小量 之後，曲線 在垂直於 的方向上（也就是 方向上）增加了多少。這與我們對彎曲程度的概念是一致的！

對曲線來說，曲率是沿著 方向彎曲的程度， 與 垂直，也就是說 和 共同組成了一個平面。曲率是曲線在這個平面上的變化程度。

那麼，如果我的曲線 是三維空間中的一條曲線，只有曲率怕是不夠的吧？沒錯，這就引出了另一個概念： 擾率 。

下面是關於擾率的計算過程：

很複雜的推理過程，比 要複雜地多。擾率的幾何意義是，在垂直於 和 形成的平面的方向上，曲線的“彎曲”程度，也就是空間的第三個維度上的變化情況。

同樣，從實際應用的角度出發，跟找曲面的意義相比，找正則曲面的意義更大。所以，下面要給出正則曲面的定義，說實話，正則曲面的定義比曲線的定義複雜很多，但是，複雜就不學了嗎？

正則曲面的定義如下：

我們來仔細看看正則曲面的定義。首先， 上的一點 的鄰域 是一個球，它和 的交集就是 的一個子集（注意還不能認為 是一個曲面，所以交集就不能認為是一個面片）。然後， 的這個子集和 有著一一對應的關係。最後，這種對應關係還需要滿足1,2,3的條件。如此這般之後， 才能被稱為是一個正則曲面。

想要定義第一基本形式，先得定義曲面的切線空間的概念。

下面定義切線空間：

有了切線空間的定義，我們就能定義曲面的第一基本形式了：

上面這個定義不好理解，我們舉個例子說明一下就好了：

假設我們有一個正則曲面 ，它上面有一條引數曲線 ，點 處的第一基本形式是： 其中， 所以， 在點 處的第一基本形式是： 。通常，我們都把這種樣子的東西叫做第一基本形式，而 被稱為第一基本形式的係數！

注意：雖然有一些資料上說是曲面的第一基本形式，但是這是錯誤的叫法，曲面根本就沒有什麼第一基本形式，這只是曲面上的一點的第一基本形式，因為我們完全可以看出，這個式子計算出來的是一個純量，根本就不是曲面上的點！

第一基本形式的作用是計算曲面上曲線的長度，兩條曲線交點切向量的夾角，或是某一塊曲面片的面積。

同第一基本形式一樣，第二基本形式也不是曲面的，而是曲面上一點的。第二基本形式的幾何意義是，曲面在當前這個點上的曲率是多少，也就是曲面在這點上有多“曲”。

第二基本形式的計算方法如下：

從式子中也可以看出來，這玩意兒就是一個純量而已。所以，我不喜歡把它叫成曲面的第二基本形式，因為這會產生很大的歧義，彷彿這是曲面的表示式似的。

第二基本形式的產生思路是這樣子的。前面我們研究曲線的時候，計算了曲線的曲率，有了一個量來表示曲線有多“曲”，那麼自然地，我們也會想知道一個曲面有多“曲”，這就引出了第二基本形式。

第二基本形式是曲面上兩點之間，法向量方向上的距離，如下圖所示：

另外一種第二基本形式的表示方式，可以說是一種巧合，因為它沒有什麼幾何意義。我們來看：

因為 ，對這個式子兩邊求導我們可以得到 對 兩邊求導可得 這就說明 這就是說 沒錯，就是這麼巧。也就是說

也是第二基本形式。

為啥沒意義呢？因為dx可以看成是x的某一個切向量，而dN可以看成是N的切向量（如果N看成是一個單位球的曲面的話，也可以說是高斯對映，當然，這是不正經定義），那麼兩個切向量的點積，還要求相反數，這就沒有啥意義了。當然，這只是我個人的理解，如果讀者有更好的理解的話，請留言告訴我，謝謝！

說實話，這些定義都是非常基本的但是要理解這些東西也並不容易，其中的有一些概念可以擴充套件延伸成更有用的概念，在這裡就不整理了，因為，只要這些基本的概念在，就不虛！

Differential Geometry of Curves and Surfaces, by do Carmo

Elemetary Diffential Geometry Second Edition, by Andrew Pressley

黎曼曲面的舉例說明

黎曼曲面的幾何性質是最妙的，它們也給向其它曲線，流形或代數簇上的推廣提供了直觀的理解和動力。Riemann-Roch 定理就是這種影響的最佳例子。

令X為一個豪斯多夫空間(Hausdorff space)。一個從開子集U⊂X到C的子集的同胚稱為圖(chart). 兩個有重疊區域的圖f和g稱為相容，如果對映f o g-1 和g o f-1 是在定義域上全純的。若A一組相容的圖，並且每個X中的x都在某個f的定義域中，則稱A為一個圖集(atlas)。當我們賦予X一個圖集A,我們稱(X,A)為一個黎曼曲面。如果知道有圖集，我們簡稱X為黎曼曲面。

不同的圖集可以在X上給出本質上相同的黎曼曲面結構；為避免這種模糊性，我們有時候要求X為極大的，也就是它不是任何一個更大的圖集的子集。根據佐恩引理(Zorn's Lemma)每個圖集A包含於一個唯一的最大圖集中。

複平面C可能是最平凡的黎曼曲面了。對映f(z) = z (恆等對映)定義了C的一個圖,而 是C的一個圖集. 對映g(z) = z* (共軛)對映也定義了C的一個圖而也是C的一個圖集. 圖f和g不相容，所以他們各自給了C一個黎曼曲面結構。事實上，給定黎曼曲面X及其圖集A, 共軛圖集B = {f* : f ∈ A} 總是不和A相容, 因此賦予X一個不同的黎曼曲面結構。

類似的，每個複平面的開子集可以自然的視為黎曼曲面。更一般的，每個黎曼曲面的開子集是一個黎曼曲面。

令S = C ∪ {∞} 並令f(z) = z 其中z 屬於S {∞} 並且令g(z) = 1 / z 其中z屬於S 以及 定義1/∞為0. 則f 和g為圖，它們相容，而{ f, g }是S圖集, 使S成為黎曼曲面。這個特殊的曲面稱為黎曼球因為它可以解釋為把複平面裹在一個球上。不象複平面，它是一個緊空間。

埃舍爾的《畫廊》也運用了黎曼曲面

緊黎曼曲面可以視為和定義在複數上的非奇異代數曲線等效。非緊黎曼曲面的重要例子由解析連續給出

兩個黎曼曲面M和N之間的 函式f : M → N稱為全純(holomorphic)，如果對於M的圖集中的每個圖g和N的圖集中的每個圖h，對映h o f o g-1 在所有有定義的地方是全純的(作為從C到C的函式) 。兩個全純函式的複合是全純的。兩個黎曼曲面M和N稱為保角等價(或共形等價conformally equivalent)，如果存在一個雙射的從M到N的全純函式並且其逆也是全純的(最後一個條件是自動滿足的所以可以略去)。兩個保角等價的黎曼曲面對於所有的實際應用來講是完全相同的。

每個單連通的黎曼曲面和C或黎曼球C ∪ {∞}或開圓盤{z ∈ C : |z| < 1}保角等價。這個命題稱為一致化定理。

每個連通黎曼曲面可以轉成有常數曲率-1，0或1 的完備實黎曼流形。這個黎曼結構除了度量的縮放外是唯一。有曲率-1的黎曼曲面稱為雙曲的;開圓盤是個經典的例子。有曲率0的黎曼曲面稱為拋物的；C是典型的拋物黎曼曲面。最後，有曲率+1的黎曼曲面稱為橢圓的；黎曼球C ∪ {∞}是這樣的一個例子.

對於每個閉拋物黎曼曲面，基本群同構於2階格群，因而曲面可以構造為C/Γ,其中C是複平面而Γ 是格群。陪集的代表的集合叫做基本域。

類似的，對每個雙曲黎曼曲面，基本群同構於Fuchsian 群，因而曲面可以由Fuchsian 模型H/Γ 構造，其中H是上半平面而Γ是Fuchsian 群。H/Γ陪集的代表是自由正則集，可以作為度量基本多邊形。

當一個雙曲曲面是緊的，則曲面的總面積是4pi(g-1), 其中 g 是曲面的虧格(genus)；面積可由把Gauss-Bonnet 定理應用到基本多邊形的面積上來算出。

前面我們提到黎曼曲面，象所有複流形，象實流形一樣可定向。因為復圖f和g有變換函式h = f(g-1(z))，我們 可以認為h是從R2開集到R2的對映，在點z的雅戈比陣也就是由乘以複數h'(z)的運算給出的實線性變換。但是，乘以複數α的行列式等於|α|^2, 所以h的雅戈比陣有正的行列式值。所以，復圖集是可定向圖集。

黎曼最早開始研究黎曼曲面。黎曼曲面以他命名。

誰知道 高分

3.1 等效原理

第一章1.7節曾經提到,牛頓萬有引力可以用引力場來描述.位於的質點感受到的引力決定於處的引力場,

(3.1)

引數稱為引力質量,描寫質點對引力場響應的強弱.當質點只受到引力作用而加速運動時,稱質點作自由落體運動.例如斷了線的升降機,圍繞地球轉動的月亮等.

根據牛頓第二定律,自由落體的加速度為

(3.2)

引數描寫質點被加速的難易程度,稱為慣性質量.實驗指出,在同樣的引力場中,引力使物體產生的加速度與物體的質量無關.這意味著對任意兩個物體和有普適的比例常數

(3.3)

不妨令它等於1,即

(3.4)

在牛頓力學中,引力質量和慣性質量是兩個性質完全不同的引數.他們嚴格相等在牛頓力學中沒有辦法解釋.

設想一些彼此相距遙遠而且和其他物體相距遙遠的質點,因而這些質點不受任何力的作用,故他們相對慣性系沒有加速度.考慮一個相對作勻加速運動的參照系.相對於,上述所有質點具有相等而且平行的加速度.靜止在的觀測者看來,好像參照系沒有加速運動,而質點受到一個均勻引力場作用一樣(因為慣性質量等於引力質量,所有在均勻引力場中自由落體質點的加速度一樣).且不管產生這種引力的原因,從效果上沒有任何理由阻止我們認為存在真實的引力場和是一個和慣性系等價的沒有加速度的參照系.參照系和在物理上完全等價的假設是愛因斯坦提出來的,稱為等效原理.

等效原理使慣性系和非慣性系(相對慣性系加速的參照系)完全平等起來 ,是觀念上的極大進步.在這個假設下,無所謂慣性系和非慣性系,參照系都是一樣的.質點在不同參照系有不同的行為,只是因為不同參照系引力場的強度不同.注意,我們這裡說"引力場的強度不同"而不說"引力場不同",是希望避免與"引力場是一種客觀存在,因此與參照系無關"相矛盾.我們仍然可以認為引力場是一種與參照系無關的客觀存在,但它在不同的參照系種表現出不同的強度.在狹義相對論中,我們遇到過類似的例子:一把尺子是客觀存在,但在不同慣性系卻可以表現出不同的長度.我們將稍後再討論引力場和空間幾何的關係,以及為什麼會出現引力場.

顯然不是所有引力場都可以通過簡單的加速參照系變換來抵消.例如沒有一個加速參照系能看到完全為零的地球引力(習題【3.1】).引力和加速度的等效性是局域的.愛因斯坦假設,在質點所在的無窮小空間鄰域中,引力場被質點的自由落體運動完全抵消掉,固定在該質點上的參照系對該質點附近的無窮小鄰域而言是一慣性系,其中引力等於零,狹義相對論成立.

等效原理:

(1)均勻引力場等效於一個加速參照系中的慣性力場;

(2)固定在自由落體上的參照系是一個局域慣性系.

3.2 彎曲空間

◆愛因斯坦轉盤

在慣性系中製備的一些相同的尺子(每把尺的長度為米),分別沿半徑和圓周擺放.

設圓盤相對地面靜止時需要用把尺子擺滿半徑,把尺子擺滿圓周.按照歐幾里德幾何,周長和半徑之比為

(3.5)

當圓盤以角速度轉動時,圓周處的線速度為.因為轉盤是一非慣性參照系,我們現在還不知道非慣性參照系的時空幾何學和其他所有自然定律,只能通過地面慣性系的測量來推斷轉盤上的規律.根據狹義相對論(參見第二章例2-2),在地面慣性系中測得圓周上的尺子長度為

(3.6)

因此轉動圓盤上的人需要多一些尺子才能擺滿圓周,設需要尺子的數目為().對於轉盤上的人,有兩種觀點可選擇:1)仍然採用地面慣性系的長度標準,以不轉動的尺子為長度單位;認為轉盤上同樣的尺子在不同的位置具有不同的長度,而圓盤轉動時圓周的長度和靜止時一樣,即 ;2)不管尺子作慣性運動抑或非慣性運動,堅持同樣的尺子在任何情況下都代表同樣的長度(把它作為轉盤參照系中的長度單位);因而圓盤轉動時圓周的長度和靜止時的不一樣.對於轉盤參照系,按第一種觀點,本質相同的尺子在不同位置具有不同的長度,轉盤上的人做長度測量時需要考慮另一個固定的參照系.而按第二種觀點,尺子的長度與它所處的位置及運動狀態無關,長度的測量與單個參照系有關.因為第二種觀點避免了一種特殊的有優越性的參照系,所以顯得自然一些.

在地面慣性系中測得沿半徑擺放在轉盤上的尺子長度不變,仍為,因此擺滿半徑所需的尺子數目仍為.如果轉盤上的人採用第二種觀點,即認為標準尺的長度是不變的,就會得量出周長和半徑的比為

(3.7)

依這種觀點,轉盤參照系的幾何不是歐幾里德幾何.

再考慮兩個相同的時鐘,一個放在圓心,一個放在圓周.按照狹義相對論(參見第二章例2-1),當圓盤轉動時,地面慣性系的觀察者將看到圓周的時鐘走得慢一些.離圓心越遠,時鐘越慢.和前面關於尺子和長度測量的討論相似,轉盤上的觀察者可以自然地認為時鐘的時間單位(比如一個時鐘週期)沒有變,仍然代表同樣地時間間隔,但轉盤上的觀察者測量得圓周上的時間較之圓心的變慢了.

■

在轉盤上引入非歐幾何不是必須的,因為轉盤相對一個慣性系轉動,一切時間和尺度都可以用慣性系中的時間和尺度,空間幾何以慣性系的歐幾里德幾何為準,即和上兩章那樣賦予慣性系特殊優越的地位.

但是等效原理告訴我們,圓盤的加速運動等效於引力場.因此引力場同樣可以使空間變成非歐幾里德空間.存在不能通過參照系變換使之處處為零的引力場,它的效應不能通過參照系變換從全空間消除掉,故對這樣的引力場非歐幾里德幾何是必須的.

為了容易想象彎曲空間,我們假設空間是二維的.圖3-2是彎曲空間的一個例子.把曲面鑲嵌在高維歐幾里德空間,用高維空間(三維空間)的笛卡兒座標描寫曲面是可以的.但高斯提出一種更漂亮的描寫方法,即在曲面上直接建立曲線座標.高斯的方法只使用曲面的內稟性質描寫曲面的幾何,不需要人為地增加內容,類似於廣義相對論只在一個參照系描寫空間結構(和物理規律),優越性是明顯的.

A

A M

B B

我們所討論的曲面假定是連續可微的,每一點附近的小鄰域可以用一平面(圖3-3b中的M)近似.在數學上這種曲面稱為二維微分流形.圖3-2a的蘋果如果沒有破皮,而且把蒂去掉,其表面就很接近一個2維微分流形.

普遍地,可以把流形想象為一個區域性光滑的空間,空間任一點的鄰近區域均近似為歐幾里德空間.這意味著可以在流形的任一小區域中建立局域的笛卡兒座標,為流形的維數.對小區域中的兩點可以根據歐幾里德幾何引入距離的概念,無窮小距離平方定義為

(3.8)

對笛卡兒座標作任意連續可微變換

(3.9)

代入(3.8)得維流形的間隔平方可寫成

(3.10)

其中函式由流形的幾何性質和所選座標架所決定,稱為度規矩陣,或簡稱度規,

(3.11)

有了之後,流形便有確定的形狀和距離的概念,即確定流形的度量性質.具有度規的流形稱為黎曼流形.

◆例3-1 求球面流形的度規.

【解】採用球座標,設球的半徑為.易見

(例3.1)

所以

,, (例3.2)

■

物理四維時空流形有類似黎曼流形的性質.觀察者在引力場中作自由落體運動,他附近的小鄰域裡不存在引力場.因此總能將時空流形的一個小鄰域當作歐幾里德區域,在那裡建立慣性參照系(自由落體參照系),其中狹義相對論成立.根據狹義相對論,兩個無限接近事件的間隔,即(3.10)式定義的,是一個不變數,與局域慣性系的選擇無關.按照度規的定義,在任意連續可微座標變換下亦也不變(習題【3.2】).任意物理的參照系變換都可以用連續可微座標變換給出,所以在任意局域參照系變換中不變.這些變換可以是非線性的,非均勻的.局域歐幾里德並不意味有限範圍空間的幾何也是歐幾里德的,不同的幾何由不同的度規張量場表現出來(所謂張量場就是給每點都指定一個度規張量).度規場反映了參照系的不同選擇,也反映了空間的幾何結構.最簡單的度規矩陣為單位矩陣,

(3.12)

當度規矩陣為單位矩陣時,參照系為局域慣性系,在其適用的局域範圍內引力場強度為零.經非線性座標變換後,單位度規矩陣變成非單位矩陣,它對單位矩陣的偏離代表非零的引力強度.因此是和引力場相聯絡的.

曲面的整體拓撲性質也是很有趣的.存在非平庸拓撲的曲面,它不可能通過連續可微座標變換把整個曲面變成平坦的.球面就是一個非平庸拓撲的曲面.相反,圓柱面是可以通過座標變換變成平坦的.根據引力和幾何的關係,如果空間是二維的球面,則空間必須存在引力場;如果空間拓撲和圓柱面一樣,則整個空間原則上(數學上)可以沒有引力場.

3.3 彎曲空間的向量分析

(1)張量的定義

考慮一般座標變換

(3.13)

無限小位移在一般座標變換下如下式變換:

(3.14)

重複指標均隱含求和,以後不再特別宣告.

按定義,反變向量由四個分量組成,它的分量在座標變換下如(3.14)式一樣變換

(3.15)

曲線的切線(例如圖3-2b曲線AB的切線),選擇適當引數就是四維速度向量

(3.16)

易見它是一個反變向量(在座標變換下不變).

由四個分量組成的物件,其分量在座標變換下如下式變換:

(3.17)

則稱它為協變向量.注意我們總是用上標表示反變向量,下標表示協變向量.

反變向量和協變向量可以合起來構成一個純量

(3.18)

易證,在座標變換下不變.

所有張量都通過它的分量的變換方式來定義.例如的變換方式為

(3.19)

(2)基本張量——度規張量

度規矩陣是對稱的協變張量.

◆【證明】

(3.20)

在新座標中,

(3.21)

因為是不變間隔,所以.比較(3.20)和(3.21)得

(3.22)

故是一個協變張量,稱為協變度規張量.

(3.22)可以寫成

(3.23)

最右邊的式子由中間的式子同時改變求和指標的名稱而得到.(3.22)減上式得

上式對任意小量成立,故,即度規張量是對稱的.

■

度規矩陣的逆矩陣由下式定義,

(3.24)

因為的兩個指標都按(3.15)式變換,故稱為反變度規張量.易見它也是對稱的.

有了協變和反變度規張量,我們可以把反變向量(指標)和協變向量(指標)一一對應起來,

, (3.25)

, (3.26)

因此,一個向量既可以用反變矢量表示也可以用協變矢量表示,分別稱為向量的兩個表象:反變表象和協變表象.例如,我們把(3.25)式中的和看作同一個向量的兩種表示.

(3)不變體積微元

度規矩陣的行列式記為.可證,

(3.27)

其中是從座標變到座標的雅戈比行列式,

(3.28)

右邊指標是矩陣元的行指標,為列指標.

雅戈比行列式也出現在體積微元的變換中,

(3.29)

因此,在座標變換下不變,稱為不變體積微元.

(3.30)

(4)向量平行移動與仿射聯絡

如何比較空間不同點的兩個向量呢

這件事在平直的歐幾里德空間是容易辦到的:把其中一個向量平行移動到另一個向量的位置,再按平行四邊形法則求他們的差.因為一個笛卡兒座標架可以描寫整個平直空間,故所謂向量的平行移動,可以理解為向量各個分量保持不變的移動.

但在彎曲空間,不同點的向量之間不存在內稟的平行概念.為了確定不同點的向量平行與否,必須規定一種平行移動的法則.圖3-4直觀地說明一種可能的平行移動法則——仿射聯絡.圖3-4(a)中,一個與球面切於北極(a)點的向量沿大弧abc移動,在移動過程中向量保持它的長度和與弧線abc相切的特徵.可以合理地認為向量在這個過程中作平行移動.再看圖3-4(b),北極上同樣的向量,沿另一條大弧adc移動,在移動過程中保持與球面相切並和弧線adc的切線正交的特徵.可以同樣合理地認為這個過程是對向量的平行移動.但是我們看到兩個過程在南極c點產生的向量是不同的.可見沒有辦法在整個球面一致地定義向量的平行.但是沿一條給定曲線平行移動向量是可以無歧義地定義的.粗略地說,仿射聯絡是一種平行移動的法則,向量按此法則沿一條曲線移動時方向不改變.

a a

b d

c c

在無限小的區域,彎曲空間近似平直,因此和歐幾里德空間的情形相似,向量的無限小平行移動由初始向量和位移向量所確定.示意於圖3-5.

考慮處一反變向量,利用處座標架的單位方向向量可把向量可寫成

(3.31)

向量被平行移動到處,成為該處的一個反變向量.

(3.32)

把平行移動引起的向量分量的變化寫成

(3.33)

則

(3.34)

其中帶有三個指標的函式稱為仿射聯絡(克里斯托菲(Christoffel)符號).向量必須象向量一樣變換,這要求具有下面的變換性質,

(3.35)

可見,不是一個張量.至此,除了(3.35)式的外,沒有其他.易見,如果原來的對兩個下標是對稱的,經過任意變換後這種對稱性仍然保持.對平直的歐幾里德空間,等於零,所以對其下標一定是對稱的.我們假定物理時空每一局域都可以用歐幾里德空間近似,是所謂黎曼流形,故只需考慮的情形(數學上稱為無撓性).物理時空是有距離概念的,可以如(3.11)那樣引入度規張量場.能夠保證向量的標積在平移時保持不變的唯一地被度規張量所確定,

(3.36)

(5)協變微分

考慮反變向量場.普通微分不是一個張量,因為在座標變換下,

(3.37)

第一項如張量一樣變換,但第二項不是.

我們要在同一地點求向量的差才能得到向量.為了反映向量場局域空間變化,用處的向量減(由從平移到所得的向量,見(3.34)),

(3.38)

這是一個反變向量,稱為反變向量場的協變微分.在最後的等式中我們忽略了二階以上的無限小量.

(3.38)式最後一行的中括號定義為反變向量的協變導數,

(3.39)

右邊兩項分別都不是張量,但合起來卻是一個張量.以後"分號"一般都表示協變導數.如果空間是平坦的,可以選取不隨時空點變化的度規張量,使得仿射聯絡等於零(見(3.36)),此時協變導數和普通導數一樣.因為廣義相對論中允許在不同時空點採用不同的參照系,不同的座標架,所以需要(3.39)式右邊的第二項才能保證(3.39)式具有張量的變換性質.

協變微分可以表示為

(3.40)

如果,則是平移得到的向量.

類似可以得到協變向量的協變導數

(3.41)

注意(3.39)和(3.41)式第二項符號的差別.

協變導數和普通導數一樣有萊布尼茲求導公式

(3.42)

類似推理可以得到張量的協變導數,

(3.43)

對張量求協變導數的規律是:第一項是普通導數;然後張量的每一個指標都對應有一項,由和張量相乘得到,上標為負,下標為正.注意上下指標的配合就可以寫出正確的協變導數.純量也服從這個規則,因為純量沒有指標,故只有普通導數項.

(3.44)

一個重要的結果是,度規張量的協變導數等於零(習題【3.3】),

(3.45)

(6)曲率張量

如何知道空間在某一點附近是彎曲的呢

A

A s

s

B

B C C

在平直空間,把向量沿一閉合迴路平行移動一週,向量方向和大小都不變.例如圖3-6a中的向量沿路徑ABCA平行移動一週.在彎曲空間,如圖3-6b,向量沿迴路(圖中的ABCA)平行移動一週後,和原來出發時的向量不一樣.這是空間彎與不彎的根本差別.

考慮彎曲空間的一個無限小平行四邊形,一反變向量沿四邊形邊界平行移動一週.如圖3-7.

可以證明,當向量平行移動回到時,向量的改變數為

(3.46)

推廣到任意迴路,上式成為

(3.47)

即沿無限小回路平移一週後,向量的改變正比於原向量以及迴路所圍的面積,其比例係數稱為四階黎曼曲率張量,由仿射聯絡及其導數給出,

(3.48)

空間平坦的充分必要條件是四階黎曼曲率張量等於零.四階黎曼曲率張量滿足一個重要的數學恆等式,稱為畢安基(Bianchi)恆等式,

(3.49)

對的指標和縮並,得到一個二階里茲(Ricci)張量

(3.50)

總曲率(純量)等於里茲張量的縮並(先用度規張量把里茲張量的一個指標提起來)

(3.51)

◆例3-2 在半徑為的球面上,採用球座標和.度規張量已在例3.1中給出.求仿射聯絡和曲率純量.

【解】仿射聯絡的非零分量有:

, (例3.3)

曲率純量為

(例3.4)

■

3.4 短程線

以上3.2和3.3節基本上是數學內容.現在回到物理問題:在引力作用下質點的運動.

根據愛因斯坦的設想,當空間的幾何知道後,自由質點(除了引力之外,不受其它力作用的質點)的運動便由空間的幾何完全確定了.先介紹可以通過空間內稟性質定義的一種特別曲線——短程線.

給定一個初始位置和一個初始速度,可以按以下規則在彎曲空間中畫出一條唯一的曲線.如(圖3-8),(1)從A點的座標和速度向量可以得到下一時刻的位置B;(2)沿速度方向將A點的速度向量平行移動到B點,得到B點的速度向量;如此類推便可得到整條曲線(圖3-8).這樣通過空間幾何(由仿射聯絡給定)自然定義的曲線稱為短程線.

A

B

C …

A:,

B:,

C:,

若質點沿短程線運動,則四維速度向量作平行移動.可以認為短程線上各點的速度是同一個向量(同一個向量放在時空不同的位置可以有不同的分量,因為座標架變了).這種運動相當於平坦空間的慣性運動.作為伽利略慣性定律的自然推廣,廣義相對論假設:自由落體沿短程線運動.

按照這一假說,質點作自由落體運動位移無限小距離之後,速度分量的改變等於速度向量平行移動同樣距離的分量變化.在(3.33)中取為四維速度,即取,便得到

(3.52)

設質點平移所需原時(固有時)為,上式可寫為

(3.53)

或

(3.54)

此即短程線方程,即僅受引力作用的質點運動方程,它決定自由落體質點的加速度.

可證,如果質點從一點移動到另一點的路徑是短程線,則移動過程所用原時取極值(附錄3-1).因為這個原因,我們稱這樣的路徑為短程線.

B

A

數學上,原時取極值的路徑所滿足的方程(3.54)可以通過變分方法求得

(3.55)

因為光速是最高速度,質點的初始四維速度向量是類時的,在運動過程中也一定是類時的,因此,即對任意物理運動,原時都是正的.

3.5 愛因斯坦引力場方程

引力就是空間的彎曲.而空間的彎曲由度規場描寫,因此度規場等價於引力場.現在要回答一個關鍵的問題:如何確定引力場(即)呢 依據有三:

1. 廣義協變性原理:物理學方程在所有參照系中形式不變;

2. 引力場方程是定域的——是一組偏微分方程,而且關於的偏微分應該不高於二階;

3. 在弱引力低速運動的情形回覆到牛頓引力理論.

回憶牛頓引力理論,放在原點質量為的質點在產生的引力勢(第一章(1.31)式)

(3.56)

此式和點電荷產生的庫侖勢比較,數學形式是一樣的.質量對應於電荷,表示質量能產生引力場.有一定空間分佈的質量(質量密度為)產生的引力場可以由(3.56)式的積分得到

(3.57)

可證它滿足泊松方程,

(3.58)

這是牛頓的引力場方程.方程的左邊是關於引力場的二階微分方程,右邊是物質的密度.這個特徵應該反映在廣義相對論的引力方程中.(3.58)不含時間,可以認為是物質靜止參照系中引力場方程的某種近似.在運動的慣性系中,物質密度變成物質流密度(單位時間流過單位橫截面積的質量).在狹義相對論中,質量即能量,故場方程的右邊和物質的能量密度和能流密度有關.而單獨的能量和能流密度不能形成協變的四維張量.對連續分佈的物質,與物質的能量密度和能流有關的張量是物質的能量-動量密度張量.所謂"物質的"是指引力場之外的能量和動量,以後我們簡稱它為能量-動量密度張量.是一個對稱的二階協變張量,對應能量密度,()對應方向的能量密度流或方向的動量密度(他們成正比),()對應方向的動量密度沿方向的流.這裡用"對應"一詞是因為可能相差比例常數.能量-動量密度張量的具體形式要知道相互作用的理論才能寫出來.能量-動量守恆定律表示為

(3.59)

事實上因為協變導數中除了普通導數外還有仿射聯絡項,物質能量-動量並不嚴格守恆.能量-動量可以在物質和引力場之間交換.

讓出現在場方程的右邊,左邊應該是一個與引力場(度規)有關的二階張量,它的協變微分等於零.這個張量只能含有度規的二階偏導數.愛因斯坦找到這個張量,

(3.60)

可以證明它的協變微分等於零.把它和能量動量密度張量聯絡起來,得到著名的愛因斯坦廣義相對論引力場方程

(3.61)

為牛頓引力常數.右邊係數的選擇使得方程在弱引力場和緩變近似下回復到牛頓引力理論(附錄3-2).愛因斯坦最早寫出的方程還多出一項,

(3.62)

最後一項稱為宇宙項,為宇宙常數.宇宙項不違反上述對場方程的一般性要求,也沒有物理上的理由排除它.愛因斯坦當年希望得到一個宇宙的穩態解,所以加上這一項.1922年弗裡德曼(A. Friedmann)發現,如果宇宙的曲率半徑是時間的函式,則可以不加入宇宙項.愛因斯坦為此很後悔加上了宇宙項.但最近的實驗表明,宇宙常數很可能不等於零,而且是一個非常大的數,不過它只在非常大的宇宙尺度引起物理效應.

注意,能量-動量密度張量不包含引力的貢獻.在所謂真空(除引力場無其他物質)中,場方程(3.61)成為

(3.63)

這是關於引力場的非線性二階偏微分方程.真空場方程除了平庸的平坦空間解外,還有引力波解.引力波的存在至今還沒有得到實驗直接證實.

關於廣義相對論更詳細的初級讀物有鄭慶璋,崔世治編著的《廣義相對論基本教程》(中山大學出版社1991).

習題

【3.1】簡單說明地球的引力不能被轉動座標系抵消.

【3.2】按照度規的定義(3.11)式,證明在任意連續可微座標變換下不變.

【3.3】度規張量的協變導數等於零,即(3.45)式.

【3.4】推導例3-2的結果.

圓是一條封閉曲線，為什麼圓還有面積，曲線難道有面積嗎？那正方形矩形等是不是都是線而不是面？高中。

1、這個問題有點深了！

2、圓的定義不止這幾個字。這裡的圓指的是有這條封閉曲線所圍住的“平面”。

3、嚴格的說就是線，再細也會有“面”，只要有面就有面積。

個人愚見，僅供參考。

正則曲面上總是可以找到一條漸近曲線嗎?

是。正則曲面是一類重要的曲面，指處處都是正則點的曲面，如果正則曲面存在一個切向量滿足曲面沿此方向的法曲率為0，這個方向就稱為漸近方向，如果存在一條曲線，它就是漸近曲線。漸近曲線是指，曲線上一點M沿曲線無限遠離原點或無限接近間斷點時，如果M到一條直線的距離無限趨近於零，那麼這條直線稱為這條曲線的漸近線。

圓盤刷的圓盤刷的特點：

1、耐酸鹼性好，耐化學有機溶劑好，不破壞原有表面光溶度，刷毛吸水量低，適合乾溼條件下的研磨。

2、耐久性高，刷毛強韌，使用壽命長。

3、刷毛強度高，強性佳，雙曲面，凹凸面，各種表面都能充分均勻的研磨。