關於因式分解12種方法

因式分解常用的六種方法詳解多項式的因式分解是代數式恆等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於

因式分解的十二種方法

把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解.因式分解的方法多種多樣,現總結如下：

因式分解有以下12種方法 1、 提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式. 例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市會考題) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、 應用公式法 由於分解因式與整

方法

提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式.

1、提公因式法 幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市會考題)

把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解（也叫作分解因式）。它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。 因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方

x -2x -x=x(x -2x-1)

⑴提公因式法 ①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 ②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.。 am＋bm＋cm＝m

應用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係,如果把乘法公式反過來,那麼就可以用來把某些多項式分解因式.

因式分解常用的六種方法詳解多項式的因式分解是代數式恆等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市會考題)

因式分解最全方法歸納樂水散人整理於2015.09一、因式分解的概念與原則1、定義：把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種恆等變換叫做因式分解，也叫作分解因式。2、原則：（1）分解必須要徹底（即分解之後的因式均不能再做分解）；（2）

a +4ab+4b =（a+2b）

1、如果沒有常數項，把x提出來，就成2次多項式了 2、看能否用公式： X1·X2·X3=-d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=-b/a。 3、對於ax^3+bx^2+cx+d(對於x因式分解)，先求a,d的因數，比如p是a的因數，比如q是d的因數，把x=q/p帶入原式，如果

分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)

1、如果沒有常數項，把x提出來，就成2次多項式了 2、看能否用公式： X1·X2·X3=-d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=-b/a。 3、對於ax^3+bx^2+cx+d(對於x因式分解)，先求a,d的因數，比如p是a的因數，比如q是d的因數，把x=q/p帶入原式，如果

例3、分解因式m +5n-mn-5m

因式分解的十二種方法 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下： 1、 提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因

m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

1.因式分解 即和差化積，其最後結果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個多項式要能分解因式，則結果唯一，因為：數域F上的次數大於零的多項式f(x),如果不計零次因式的差異，那麼f(x)可以唯一的分解為以下形式： f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x

= (m -5m )+(-mn+5n)

因式分解公式： 平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² 把式子倒過來： (a+b)(a-b)=a²-b² a²±2ab+b²= (a±b)² 就變成了因式分解，因此，我們把用利用平方差公式和完全

=m(m-5)-n(m-5)

公式如下： 1.(a+b)(a-b)=a的平方減b的平方 2.（a+-b）的平方=a的平方加減2ab加b的平方 3.立方和立方差公式 概念與注意點： 1.把一個多想害死化為幾個整式積的形式叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。 2.提取的公因式應該為各項係數的最

=(m-5)(m-n)

十字相乘法的具體方法:十字左邊相乘等於二次項係數,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項係數. 應用十字相乘法解題的例項: 例1把m²+4m-

十字相乘法

對於mx +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

因式分解的方法 因式分解沒有普遍的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，輪換對稱法，剩餘定理法等。 [編輯本段]基本方法 ⑴提公因式法 各項都

例4、分解因式7x -19x-6

因式分解沒有普遍適用的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法，求根公式法，換元法，長除法

分析：1 -3

因式分解的十二種方法 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下： 1、 提公因法 如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因

7 2

2-21=-19

題目只要求輸出自然數N的分解方案數，當N大的時候分解方案數會相當的多，所以為了提高效率，可以不一一列舉所有的分解方案而是運用數學方法計算。 計算方法如下 首先對自然數N做質因數分解(分解成若干個質數的乘積) 設N的質因數分解為N=p1^q1 *

7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

題目只要求輸出自然數N的分解方案數，當N大的時候分解方案數會相當的多，所以為了提高效率，可以不一一列舉所有的分解方案而是運用數學方法計算。 計算方法如下 首先對自然數N做質因數分解(分解成若干個質數的乘積) 設N的質因數分解為N=p1^q1 *

配方法

對於那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解.

1提公因式法：如果多項式各項都有公共因式，則可先考慮把公因式提出來，進行因式分解，注意要每項都必須有公因式。解析顯然每項均含有公因式5x故可考慮提取公因式5x，接下來剩下x2+2x+1仍可繼續分解。例15x3+10x2+5x解：原式=5x(x2+2x+1)=5x(x+1

例5、分解因式x +3x-40

多項式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式. 最大公因式的提取方法:係數取分子和分母系數的最大公約數,字母取分子和分母共有的字母,指數取公共字母的最小指數,即為它們的公因式.

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

解一元二次方程，各種各樣的方式方法，結果都是一樣的； 如何選擇方法，採用哪種方式手段，也就看各人自己的習慣了； 當然，也肯定要根據實際情況，選擇更合理更輕鬆的方法。 一元二次方程的解法，大概有三四種 直接開平方法； 用於 x" = 4 或者

=(x+ ) -( )

根據題意，分析可得：0=（1-1）×（1+3）=0×4，5=（2-1）×（2+3）=1×5，12=（3-1）×（3+3）=2×6，…故其第n項是（n-1）×（n+3）．∴第100項是：99×103．故答案為：99×103．

=(x+ + )(x+ - )

1、直接開平方法 直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法.用直接開平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解為x=±√n+m 。 例：解方程(3x+1)²=7 ∵（3x+1)²=7 ∴3x+1=±√7 ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 ∴原方程的解為x1=﹙√7﹣1﹚/3

=(x+8)(x-5)

數學都是這樣的!!!你必須見識不同的題目!!!這樣才能給你提供思路!!!以前我有個朋友數學基本都是140以上!!!我問過他!!!他說的是!!多做 多記 多總結

拆、添項法

可以把多項式拆成若干部分,再用進行因式分解.

十字相乘法的方法簡單點來講就是：十字左邊相乘等於二次項係數,右邊相乘等於常數項,交叉相乘再相加等於一次項係數. 十字相乘法能把某些二次三項式分解因式.這種方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a1,a2的積a1·a2,把常數項c分解成兩個因數c

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

(1)2ax-10ay+5by-bx =2a(x-5y)-b(x-5y) =(2a-b)(x-5y) (2)分解因式的問題,就如x^2+7x+10=(x+2)(X+5)我的老師稱之為十字相乘

bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

換元法

有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來.

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

圖象法

令y=f(x),做出函式y=f(x)的圖象,找到函式圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

令y= x +2x -5x-6

作出其圖象,見右圖,與x軸交點為-3,-1,2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解.

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列

a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

利用特殊值法

將2或10代入x,求出數P,將數P分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式.

例11、分解因式x +9x +23x+15

令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值

則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

待定係數法

首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解.

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式.

設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

擴充套件閱讀，以下內容您可能還感興趣。

3次方多項式有什麼因式分解的方法，舉些例子

1、如果沒有常數項，把x提出來，就成2次多項式了

2、看能否用百公式：

X1·X2·X3=-d/a；

X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a；

X1+X2+X3=-b/a。

3、對於ax^3+bx^2+cx+d(對於x因式分解)，先求a,d的因數，比如p是a的因數，比如q是d的因數，把x=q/p帶入原式，度如果等於0的話，(x-q/p)就是它的一個因式。

擴充套件資料

分解知一般步道驟

1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

這裡的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項係數是專正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括號內切勿漏掉1；提公因式要一次性提幹淨，並使每一個括號內的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項屬法來分解。

參考資料來源：百度百科-因式分解

因式分解的方法是什麼

因式分解的十二種方法

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：

1、 提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市會考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係，如果把乘法公式反e69da5e6ba90e799bee5baa6e79fa5e9819331333264626531過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市會考題)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項法

可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x [2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6

= x [2(y -2)-y-6]

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法

令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

解：令y= x +2x -5x-6

作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列

解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) [a -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值

則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定係數法

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

解：設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4）

參考資料：http://zhidao.baidu.com/question/4467572.html?an=0&si=4

因式分解配方和十字相乘法和待定係數法

1.因式分解

即和差化積，其最後結果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個多項式要能分解因式，則結果唯一，因為：數域F上的次數大於零的多項式f(x),如果不計零次因式的差異，那麼f(x)可以唯一的分解為以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次項的係數，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項式，並且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多項式f(x)的典型分解式。證明：可參見《高代》P52-53

初等數學中，把多項式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等

要求為：要分到不能再分為止。

2.方法介紹

2.1提公因式法：

如果多項式各項都有公共因式，則可先考慮把公因式提出來，進行因式分解，注意要每項都必須有公因式。

例15x3+10x2+5x

解析顯然每項均含有公因式5x故可考慮提取公因式5x，接下來剩下x2+2x+1仍可繼續分解。

解：原式=5x(x2+2x+1)

=5x(x+1)2

2.2公式法

即多項式如果滿足特殊公式的結構特徵，即可採用套公式法，進行多項式的因式分解，故對於一些常用的公式要求熟悉，除教材的基本公式外，數學競賽中常出現的一些基本公式現整理歸納如下：

a2-b2=(a+b)(a-b)

a2±2ab+b2=(a±b)2

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

a3±3a2b+3ab2±b2=(a±b)3

a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)2

a12+a22+…+an2+2a1a2+…+2an-1an=(a1+a2+…+an)2

a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+…+bn-1)(n為奇數)

說明由因式定理，即對一元多項式f(x)，若f(b)=0，則一定含有一次因式x-b。可判斷當n為偶數時，當a=b,a=-b時，均有an-bn=0故an-bn中一定含有a+b，a-b因式。

例2分解因式：①64x6-y12②1+x+x2+…+x15

解析各小題均可套用公式

解①64x6-y12=（8x3-y6）(8x3+y6)

=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)(2x+y2)(4x2-2xy2+y4)

②1+x+x2+…+x15=

=(1+x)(1+x2)(1+x4)(1+x8)

注多項式分解時，先構造公式再分解。

2.3分組分解法

當多項式的項數較多時，可將多項式進行合理分組，達到順利分解的目的。當然可能要綜合其他分法，且分組方法也不一定唯一。

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根據係數特徵進行分組

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

2.4十字相乘法

對於形如ax2+bx+c結構特徵的二次三項式可以考慮用十字相乘法,

即x2+(b+c)x+bc=(x+b)(x+c)當x2項係數不為1時，同樣也可用十字相乘進行操作。

例3分解因式：①x2-x-6②6x2-x-12

解①1x2

1x-3

原式=（x+2）(x-3)

②2x-3

3x4

原式=（2x-3）(3x+4)

注：“ax4+bx2+c”型也可考慮此種方法。

2.5雙十字相乘法

在分解二次三項式時，十字相乘法是常用的基本方法，對於比較複雜的多項式，尤其是某些二次六項式，如4x2-4xy-3y2-4x+10y-3，也可以運用十字相乘法分解因式，其具體步驟為：

（1）用十字相乘法分解由前三次組成的二次三項式，得到一個十字相乘圖

（2）把常數項分解成兩個因式填在第二個十字的右邊且使這兩個因式在第二個十字中交叉之積的和等於原式中含y的一次項，同時還必須與第一個十字中左端的兩個因式交叉之積的和等於原式中含x的一次項

例5分解因式

①4x2-4xy-3y2-4x+10y-3②x2-3xy-10y2+x+9y-2

③ab+b2+a-b-2④6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2

解①原式=（2x-3y+1）(2x+y-3)

2x-3y1

2xy-3

②原式=（x-5y+2）(x+2y-1)

x-5y2

x2y-1

③原式=(b+1)(a+b-2)

0ab1

ab-2

④原式=（2x-3y+z）(3x+y-2z)

2x-3yz

3x-y-2z

說明：③式補上oa2,可用雙十字相乘法，當然此題也可用分組分解法。

如（ab+a）+(b2-b-2)=a(b+1)+(b+1)(b-2)=(b+1)(a+b-2)

④式三個字母滿足二次六項式，把-2z2看作常數分解即可：

2.6拆法、添項法

對於一些多項式，如果不能直接因式分解時，可以將其中的某項拆成二項之差或之和。再應用分組法，公式法等進行分解因式，其中拆項、添項方法不是唯一，可解有許多不同途徑，對題目一定要具體分析，選擇簡捷的分解方法。

例6分解因式：x3+3x2-4

解析法一：可將-4拆成-1，-3即（x3-1）+(3x2-3)

法二：添x4,再減x4,.即（x4+3x2-4）+(x3-x4)

法三：添4x,再減4x即，（x3+3x2-4x）+(4x-4)

法四：把3x2拆成4x2-x2,即（x3-x2）+(4x2-4)

法五：把x3拆為，4x2-3x3即(4x3-4)-(3x3-3x2)等

解（選擇法四）原式=x3-x2+4x2-4

=x2(x-1)+4(x-1)(x+1)

=(x-1)(x2+4x+4)

=(x-1)(x+2)2

2．7換元法

換元法就是引入新的字母變數，將原式中的字母變數換掉化簡式子。運用此

種方法對於某些特殊的多項式因式分解可以起到簡化的效果。

例7分解因式：

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-120

解析若將此展開，將十分繁瑣，但我們注意到

(x+1)(x+4)=x2+5x+4

(x+2)(x+3)=x2+5x+6

故可用換元法分解此題

解原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)-120

令y=x2+5x+5則原式=(y-1)(y+1)-120

=y2-121

=(y+11)(y-11)

=(x2+5x+16)(x2+5x-6)

=(x+6)(x-1)(x2+5x+16)

注在此也可令x2+5x+4=y或x2+5x+6=y或x2+5x=y請認真比較體會哪種換法更簡單？

2．8待定係數法

待定係數法是解決代數式恆等變形中的重要方法,如果能確定代數式變形後的字母框架,只是字母的係數高不能確定,則可先用未知數表示字母系數,然後根據多項式的恆等性質列出n個含有特殊確定係數的方程(組)，解出這個方程(組)求出待定係數。待定係數法應用廣泛,在此只研究它的因式分解中的一些應用。

例7分解因式：2a2+3ab-9b2+14a+3b+20

分析屬於二次六項式，也可考慮用雙十字相乘法，在此我們用待定係數法

先分解2a2+3ab+9b2=(2a-3b)(a+3b)

解設可設原式=(2a-3b+m)(a+3b+n)

=2a2+3ab-9b2+(m+2n)a+(3m-3n)b+mn……………

比較兩個多項式（即原式與*式）的係數

m+2n=14(1)m=4

3m-3n=-3(2)=>

mn=20(3)n=5

∴原式=（2x-3b+4）(a+3b+5)

注對於（*）式因為對a,b取任何值等式都成立，也可用令特殊值法，求m,n

令a=1,b=0,m+2n=14m=4

=>

令a=0,b=1,m=n=-1n=5

2.9因式定理、綜合除法分解因式

對於整係數一元多項式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

由因式定理可先判斷它是否含有一次因式(x-)（其中p，q互質），p為首項係數an的約數，q為末項係數a0的約數

若f（）=0,則一定會有（x-）再用綜合除法，將多項式分解

例8分解因式x3-4x2+6x-4

解這是一個整係數一元多項式，因為4的正約數為1、2、4

∴可能出現的因式為x±1,x±2,x±4,

∵f(1)≠0,f(1)≠0

但f(2)=0,故(x-2)是這個多項式的因式，再用綜合除法

21-46-4

2-44

1-220

所以原式=(x-2)(x2-2x+2)

當然此題也可拆項分解，如x3-4x2+4x+2x-4

=x(x-2)2+(x-2)

=(x-2)(x2-2x+2)

分解因式的方法是多樣的，且其方法之間相互聯絡，一道題很可能要同時運e799bee5baa6e79fa5e98193e78988e69d8331333234333366用多種方法才可能完成，故在知曉這些方法之後，一定要注意各種方法靈活運用，牢固掌握!

因式分解的公式

因式分解公式：7a64e58685e5aeb931333431353363

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

把式子倒過來：

(a+b)(a-b)=a²-b²

a²±2ab+b²= (a±b)²

就變成了因式分解，因此，我們把用利用平方差公式和完全平方公式進行因式分解的方法稱之為公式法。

例：

1、25-16x²=5²-(4x)²=(5+4x)(5-4x)

2、p4-1

=(p²+1)(p²-1)

=(p²+1)(p+1)(p-1)

3、x²+14x+49

=x²+2·7·x+7²

=(x+7)²

4、(m-2n)²-2(2n-m)(m+n)+(m+n)²

=(m-2n)²+2(m-2n)²(m+n)+(m+n)²

=[(m-2n)+(m+n)]²

=(2m-n)²

擴充套件資料

注意點：

1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

這裡的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項係數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括號內切勿漏掉1；提公因式要一次性提幹淨，並使每一個括號內的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

參考資料來源：百度百科-因式分解

因式分解

公式如下：

1.(a+b)(a-b)=a的平方減b的平方

2.（a+-b）的平方=a的平方加減2ab加b的平方

3.立方和立方差公式

概念與注意點：

1.把一個多想害死化為幾個整式積的形式叫做把這個多項式因式分解，也叫作分解因式。

2.提取的公因式應該為各項係數的最大公因數與各項都含有的字母的最低次冪的乘積

3.分數係數：分母為最小公倍數，分子為最大公約數

4.不要忘了，在你分解的時候一定要仔細看好，要認真，分解到底。

5.在你看到一些無規律的數字時，不要用公式，只要用十字相乘的方法就可以解決難題。

因式分解的小節

一提 二套 三分組

提取公因式

當代數式為四項或以下時，有兩種方法：

第一種方法：2+2就是兩次提取公因式或者是先平方差再提取公因式

第二種方法：1+3完全平方公式再用平方差

當代數式為五項或者六項時，用雙十字相乘。

用例題說明（最經典的例題）

1.判斷

1.x^2-4y^2=(x=2y)(x-2y)

2.2x(x-3y)=2x^2-6xy

3.（5a-1）^2=25a^2-10a+1

4.x^2+4x+4=(x+2)^2

5.(a-3)(a+3)=a^2-9

6.m^2-4=(m+4)(m-4)

7.2πr+2πr=2π（r+1）

答案：

因式分解=A，整式乘法=B

1A

2B

3B

4A

5B

6A

7A

這裡要注意的是，因式分解是寫成因式相乘的形式，而且是建立在整式的條件上的

至於其他的題目嘛，一言難盡，你可以寫信到我郵箱裡去[email protected]我可以回答你，我也是剛剛學過，有很多題目的，你要我可以給你，不過基本上我e799bee5baa6e79fa5e98193e78988e69d8331333262366331已經概括出來了，你只要掌握以上所有內容保證自己明白，就可以在基礎聯絡上獲得成功，祝你好運！

我覺得樓下是黏貼複製來的，一點也不真誠耶~

參考資料：一切都是靠自己