怎麼因式分解三項式

你這個前面的f(x)啥意思。。。看不懂但我可以叫你一些解題方法。 因式分解是代數式的一種重要的恆等變形，它與整式乘法是相反方向的變形。在分式運算、解方程及各種恆等式變形中它都有著重要的作用。 因式分解的方法較多，除了國中教材涉及到的

本文我們將從以下幾個部分來詳細介紹如何因式分解三項式：二次三項式、特殊情況下分解出正確的二項式因式、含有隱藏變數的二次方程式、艾森斯坦判別法、含有一個變數的二次方程式

代數中，三項式是三個項組成的多項式，最常見的形式是二次三項式 (ax2+bx+c)。不過不是所有三項式都是二次的。有的還有更高次數。多項式在數學和科學中都很有用，學好因式分解多項式的方法，可以在很多領域中得心應手。下面介紹因式分解三項式的技巧步驟。有很多特殊三項式可以因式分解，但如果碰到分解不了的，要學會用通常方法來分解高次三項式。

一：方法【六大點】 ⑴提公因式法 ①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～. ②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. am

第1步：把三項中的公因子提出來。

x^3-5x^2+17x-13 看看x等於什麼可以使他等於0 顯然x=1可以 所以有一個因式是x-1 所以x^3-5x^2+17x-13 =x^3-x^2-4x^2+4x+13x-13 =x^2(x-1)-4x(x-1)+13(x-1) =(x-1)(x^2-4x+13)

如果三個項係數都有相同因數，提出來。或者含有共同變數，也提出來。

1、提公因式法 幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是

第一部分：二次三項式

⑴提公因式法 各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項

第1步：把三項式引數按從大到小次數排列。

因式分解： 定義：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這種變形叫做這個多項式的分解因式（分解因式為正式的逆運算） 因式分解：a的平方-4=（a+2）（a-2） 分解因式：（a+2）（a-2）=a的平方-4 方法：提取公因式：1找多項式每項的公因式 2提

引數是多項式中的變數，正常順序就是按次數大到小來排列的。因此 5 + x2 + 6x 要被整理成 x2 + 6x + 5

因式分解 因式分解（factorization） 因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具．因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對

因此而三項式3x2 + 18x + 15 中每個項都是3的倍數，3 提出來得到3(x2 + 6x + 5).

基本方法 ⑴提公因式法 各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是整數時

在- x2 - 2x - 1 每個項都含有 -1 ，提出來變成 (-1)(x2 + 2x + 1) ，或者更一般的形式 -( x2 + 2x + 1)

學好分解因式需要兩點，一是需要好的方法，而是要多做題目，而分解因式好的方法不乏以下六大點和五小點，如果掌握熟練，會對你的因式分解有很大幫助。而多做練習也十分不開的，這會讓你能更好的應用這些方法。下面是六點方法以及經典的練習： 一

三項式 3x2 y + 3xy - 60y 中每項都有 3y ，提出變成 3y(x2 + x - 20)。

因為前兩個數字就是代表了第一個括號裡面的兩個係數， 而後面兩個數字代表了第二個括號裡面的兩個係數。 這個方法又叫交差相乘法，就是隻有不同括號裡面的係數才有可能相乘。

第2步：把三項式分解成兩個二項式因式。

因式分解方法： 先看各項有沒有公因式，若有公因式，則先提取公因式； 具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的， 如果多項式的第一項是負的，一般要提出

二項式是含有兩個組成部分的mx +n形式的多項式， m、n代表常數。兩個二項式中的首項應該是三次項(ax2)的因數，二項式的第二項應該是三項式中常數(c)的因數。把第一個多項式首項和第二個多項式的次項相乘，然後把第二個多項式首項和第一個多項式的次項相乘就得到三次多項式的(bx)。

一、因式分解的基本方法， 1、提取公因式法， 2、公式法（平方差公式和完全平方公式）。 往往在題目中多少會涉及一些其他的知識，例如配方法和十字交叉法等。 二、十字交叉法 1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等於二次項係數,右邊相乘等於常數

因此對於x2 + 6x + 5 ，每個二項式因式的首項都是x ，因為x乘以x是 x2。因式的次項應該是5 和 1，因為5乘以1等於5。分解出來的二項式因式應該是(x + 5)(x + 1)，可以把第一個因式的 x 乘以後一個因式的1， 得到x，然後把後一個因式x乘以前一個5，得到5x, 加起來得6x，即三項式的中間項。

因式分解主要有十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式，輪換對稱多項式法，餘式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法。 而在競賽上，又有拆項和添減項法式

如果常數項有好幾個不同的可能因數，那麼需要一一解出正確的二項式因式。比如 x2 + x - 20，每個二項式裡的第一項應該都是x，因為這裡的a=1。但是c的絕對值 20可以被分解成20 乘以 1、 10 乘以 2、 5 乘以 4。看b的值，b= 1，因此所有二項式的第二項加起來一定是1。又因為c是負數 - 20，其中一個第二項一定是負數。因為 5 - 4 (或 5 加 - 4) 等於 1，正確的答案是(x + 5)(x - 4)

什麼時候三項式的因式分解可以用十字相乘法 5 用十字相乘法的多項式有什麼特點?是不是按某個字母的降次排列的,且共三項。但有些這樣的多項式並不能用十字相乘法

第二部分：特殊情況下分解出正確的二項式因式

因式分解主要有四種方法：（1）提取公因式法。（2）運用公式法。（3）十字相乘法。（4）添項拆項分組法。其中（1）（2）種方法是比較簡單的。 ※（1）方法只要有一雙慧眼，能發現幾個單項式中的公因式即可。 ※（2）方法主要就是要背出幾個公式，

第1步：檢查三項式第一或第三項是否是質數。

1、在數學中，由若干個單項式相加組成的代數式叫做多項式（若有減法：減一個數等於加上它的相反數）。多項式中的每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高項次數，就是這個多項式的次數。其中多項式中不含字母的項叫做常數項。 2、把一個多

質數是隻能被自己或1整除的數，這樣因數就少很多了。在這個例子 x2 + 6x + 5 中 5 是質數，因此只有一對解。 (x + 5)(x + 1)

在實數範圍內,如果沒有解,就不能,如果有解就能 在複數範圍內,總有解,因而總能分解 因此看你學到哪個水平了

第2步：看看三項式是否是完全平方式。

（1）解：x2+4x+3=0，分解因式得：（x+1）（x+3）=0，x+1=0，x+3=0，解得：x1=-1，x2=-3．（2）解：x2+5x-6=0，分解因式得：（x+6）（x-1）=0，x+6=0，x-1=0，解得：x1=-6，x2=1．

完全平方式是一個項自己乘自己得到的式子。比如：1 * 1 = 1、 2 * 2 = 4、 3 * 3 = 9 等等。如果ax2 + bx + c 是完全平方式， a 和 c一定是完全平方，b一定是 a 和 c的根的和的兩倍。

2(x-1)(x-9)=2(x²-10x+9)=2x²-20x+18 2(x-2)(x-4)=2(x²-6x+8)=2x²-12x+16 ∴原多項式是：2x²-12x+18

三項式x2 + 6x + 9 是完全平方式，即(x + 3)(x + 3)。 a 是 1 ，即1 的平方。 c 是 9，是3 的平方，b 是 6 ，即a 、 c 開根號的和的二倍，即 2(1 * 3)

因為八年級學因式分解，到了九年級可以學：一元二次方程。 二次三項式 ax²+bx+c 後面加上“=0” 就變成了一元二次方程。 如果二次三項式 ax²+bx+c可以因式分解，就說明這個一元二次方程有實數根。 而一元二次方程有實數根的前提就是a≠0

三項式4x2 + 12x + 9 可以因式分解為(2x + 3)(2x + 3)，也是完全平方式。 a 是 4，或2 平方，c 是 9，3 的平方，b是12，a 和c 開根號的和的兩倍， 2(2 * 3)

( x + 1 )( x + 9 ) = x” + 9x + x + 9 = x” + 10x + 9， 常數項就是 9， ( x - 2 )( x - 4 ) = x” - 4x - 2x + 8 = x” - 6x + 8， 一次項就是 -6x， 原二次三項式就是 x” - 6x + 9 = x” - 2(3x) + 3” = ( x - 3 )”

注意如果是完全平方式，這個三項式的a、c一定是正數。若都是負數，提出-1，把a、b、c的符號都變過來，然後再計算。

解：﹙x－1﹚﹙x－9﹚＝x²－10x＋9 ﹙x－2﹚﹙x－4﹚＝x²－6x＋8 由題意知：原來的二次三項式是：x²－6x＋9＝﹙x－3﹚².

第3步：看看“三項式”是否實際上是一個可因式分解的二項式。

1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數。 2、十字相乘法的用處：（1）用十字相乘法來分解因式。（2）用十字相乘法來解一元二次方程。 3、十字相乘法的優點：用十字相乘法來解題的

有的二項式也可以分解為兩個二項式，形式為ax2 - c，a 和 c 都是完全平方數。或者可以看成b等於0的三項式。這些二項式可以分解為兩個二項式，其中首項都相同，次項符號不同，絕對值相同。

分析:把6x²-5x-25看成一個關於x的二次三項式,則6可以分為1×6,2×3,④分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。(6)應用因式定理:

如4 x2 - 9 因式分解為(2x + 3)(2x - 3) 。因為2 是4 的平方根， 3是9的平方根。因為正數乘以負數等於負數，因此一個3是正的，一個是負的。得到 4x2 + 6x - 6x - 9 或者簡單點， 4x2 - 9。

第三部分：含有隱藏變數的二次方程式

有的三項式看起來是高次的，但是實際上是二次的。看出來了以後，可以以如下方法解決。

第1步：檢查每項變數。

如 x6 - 7x3 + 12 看起來有6次，但是用個代入法 u=x3得到 u2 - 7u + 12。這個也適用於多變數多項式。比如 x5y - 7x3y2 + 12y3 得到xy3(u2 - 7u + 12) ，這裡用的替換是 u = x2/y。 這種替代法在任何第二項的次數都是首項的一半的時候都可以用。

第2步：如果可用該替代法，將替代後簡單點的多項式因式分解，這裡得到 u2 - 7u + 12 = (u-3)(u-4)

第3步：把 x再替代回去，得到 x6 - 7x3 + 12 = (x3 - 3)(x3 - 4)，如果可能，或者需要的話，繼續因式分解。

第四部分：艾森斯坦判別法

這個法則可以用在含有任何項數的多項式中，但是在三項式中尤其好用，因為很多係數都是0。這種方法不是用來因式分解的，但是可以判別是否可以因式分解。

第1步：把所有第二項和常數項的質數公因數 p找出。

第2步：每個數p都檢查以下情況是否符合。

常數項一定是p的倍數但不是 p2的倍數

首項一定不是p的倍數

第3步：如果存在p，能整除除了首項以外的所有項係數，而且只能整除常數項一次，那麼這個多項式不能因式分解。

可以快速用這種方法判定14x9 + 45x4 + 51 是無法分解的，因為45 、 51可以整除3，但是不能被14 整除，9也不能被51整除

第五部分：含有一個變數的二次方程式

高次、多變數的三項式可能可以化成二次甚至關於一個變數的線性方程。

第1步：比如一個三項式4x3y2 - 5x4 + 15y 是x和y的5次，但只是y的2次方程。

第2步：用該變數重寫多項式形式，把其他項都當做係數，得到(4x3)y2 + (15)y - (5x4)。

第3步：用二次方程式解出y關於x的表示式。

小提示

可以在任何代數書中找題練練自己解三項式問題。

警告

雖然對二次方程有效，但三項式不一定是兩個二項式乘出來的，比如 x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2)(x2 - 5x + 23)

你需要準備

代數教科書

紙和筆

參考

http://www.wtamu.edu/academic/anns/mps/math/mathlab/int_algebra/int_alg_tut28_facttri.htm

http://www.themathpage.com/alg/factoring-trinomials.htm

http://www.themathpage.com/alg/perfect-square-trinomial.htm

http://www.algebrahelp.com/lessons/factoring/trinomial/

http://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial

擴充套件閱讀，以下內容您可能還感興趣。

三次方分解因式方法

因式分解法：

因式分解法不是對所有的三次方程都適用，只對一些三次方程適用．對於大多數的三次方程，只有先求出它的根，才能作因式分解．當然，因式分解的解法很簡便，直接把三次方程降次，例如：解方程x3-x=0

對左邊作因式分解，得x(x+1)(x-1)=0，得方程的三個根：x1=0,x2=1,x3=-1。

另一種換元法：

對於一般形式的三次方程，先用上文中提到的配方和換元，將方程化為x3+px+q=0的特殊型．令x=z-p/3z代入並化簡，得：z-p/27z+q=0。再令z=w代入，得：w+p/27w+q=0．這實際上是關於w的二次方程．解出w,再順次解出z,x。

擴充套件資料：

盛金公式解法

三次方程應用廣泛。用根號解一元三次方程，雖然有著名的卡爾丹公式，並有相應的判別法，但使用卡爾丹公式解題比較複雜，缺乏直觀性。範盛金推匯出一套直接用a、b、c、d表達的較簡明形式的一元三次方程的一般式新求根公式，並建立了新判別法。

參考資料：

三次方程--百度百科

怎麼做因式分解

基本方法　　 ⑴提公因式法

各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。

如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。

口訣：找準公因式，一次要提淨；全家都搬走，留1把家守；提負要變號，變形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；

a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

注意：把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式

⑵公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；

立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；

完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．

公式：a^3+b^3+c^3+3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2。

（3）分解因式技巧

1.分解因式與整式乘法是互為逆變形。

2.分解因式技巧掌握：

①等式左邊必須是多項式；

②分解因式的結果必須是以乘積的形式表示；

③每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數；

④分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。

注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應從係數和因式兩個方面考慮。

3.提公因式法基本步驟：

（1）找出公因式；

（2）提公因式並確定另一個因式：

①第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定係數在確定字母；

②第二步提公因式並確定另一個因式，注意要確定另一個因式，可用原多項式除以公因式，所得的商即是提公因式後剩下的一個因式，也可用公因式分別除去原多項式的每一項，求的剩下的另一個因式；

③提完公因式後，另一因式的項數與原多項式的項數相同。 [編輯本段]競賽用到的方法　　 ⑶分組分解法

分組分解是解方程的一種簡潔的方法，我們來學習這個知識。

能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

比如：

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

我們把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。

同樣，這道題也可以這樣做。

ax+ay+bx+by

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x+y)

幾道例題：

1. 5ax+5bx+3ay+3by

解法：=5x(a+b)+3y(a+b)

=(5x+3y)(a+b)

說明：係數不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個整體，利用乘法分配律輕鬆解出。

2. x^3-x^2+x-1

解法：=(x^3-x^2)+(x-1)

=x^2(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(x2+1)

利用二二分法，提公因式法提出x2，然後相合輕鬆解決。

3. x2-x-y2-y

解法：=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y)(x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然後相合解決。

⑷十字相乘法

這種方法有兩種情況。

①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解：x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．

②kx²+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m時，那麼kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．

圖示如下：

×

c d

例如：因為

1 -3

×

7 2

-3×7=-21，1×2=2，且2-21=-19，

所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．

十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中

⑸拆項、添項法

這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意，必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)．

⑹配方法

對於某些不能利用公式法的多項式，可以將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。

例如：x²+3x-40

=x²+3x+2.25-42.25

=(x+1.5)²-(6.5)²

=(x+8)(x-5)．

⑺應用因式定理

對於多項式f(x)=0，如果f(a)=0，那麼f(x)必含有因式x-a．

例如：f(x)=x²+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x²+5x+6的一個因式。(事實上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)

注意：1、對於係數全部是整數的多項式，若X=q/p（p,q為互質整數時）該多項式值為零，則q為常數項約數，p最高次項係數約數；

2、對於多項式f(a)=0,b為最高次項係數，c為常數項，則有a為c/b約數

⑻換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。

注意:換元后勿忘還元.

例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12時，可以令y=x²+x,則

原式=(y+1)(y+2)-12

=y²+3y+2-12=y²+3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x²+x+5)(x²+x-2)

=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．

也可以參看右圖。

⑼求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．

例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時，令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0，

則通過綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1．

所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．

⑽圖象法

令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式影象與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．

與方法⑼相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準確。

例如在分解x^3 +2x^2-5x-6時，可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.

作出其影象，與x軸交點為-3，-1，2

則x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．

⑾主元法

先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

⑿特殊值法

將2或10代入x，求出數p，將數p分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例如在分解x^3+9x^2+23x+15時，令x=2，則

x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105，

將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7 ．

注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值，

則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5)，驗證後的確如此。

⒀待定係數法

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時，由分析可知：這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

由此可得a+c=-1，

ac+b+d=-5，

ad+bc=-6，

bd=-4．

解得a=1，b=1，c=-2，d=-4．

則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．

也可以參看右圖。

⒁雙十字相乘法

雙十字相乘法屬於因式分解的一類，類似於十字相乘法。

雙十字相乘法就是二元二次六項式，啟始的式子如下:

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

x、y為未知數，其餘都是常數

用一道例題來說明如何使用。

例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．

分析：這是一個二次六項式，可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。

解：圖如下，把所有的數字交叉相連即可

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．

雙十字相乘法其步驟為：

①先用十字相乘法分解2次項，如十字相乘圖①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；

②先依一個字母（如y）的一次係數分數常數項。如十字相乘圖②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；

③再按另一個字母（如x）的一次係數進行檢驗，如十字相乘圖③，這一步不能省，否則容易出錯。 [編輯本段]多項式因式分解的一般步驟：　　①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；

②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；

④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

也可以用一句話來概括：“先看有無公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要合適。”

幾道例題

1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（補項）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．

2．求證：對於任何實數x,y，下式的值都不會為33：

x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．

（分解因式的過程也可以參看右圖。）

當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立。

3.．△ABC的三邊a、b、c有如下關係式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0，求證：這個三角形是等腰三角形。

分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。

證明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0，

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．

∴(a-c)(a+2b+c)=0．

∵a、b、c是△ABC的三條邊，

∴a＋2b＋c＞0．

∴a－c＝0，

即a＝c，△ABC為等腰三角形。

4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。

解：-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

怎樣學好因式分解？

學好分解因式需要兩點，一是需要好的方法，而是要多做題目，而分解因式好的方法不乏以下六大點和五小點，如果掌握熟練，會對你的因式分解有很大幫助。而多做練習也十分不開的，這會讓你能更好的應用這些方法。下面是六點方法以及經典的練習：

一：方法【六大點】

⑴提公因式法

①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～.

②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的係數是正的.

⑵運用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)

⑶分組分解法

分組分解法：把一個多項式分組後，再進行分解因式的方法.

分組分解法必須有明確目的，即分組後，可以直接提公因式或運用公式.

⑷拆項、補項法

拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 時，那麼

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

※ 多項式因式分解的一般步驟：

①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；

②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；

④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。

(6)應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式。

【五小點】

(7)配方法:對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

(8)換元法:有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

(9)利用特殊值法:將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

(10)待定係數法:首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

(11)主元法:先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

二：練習：

例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。

解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）

這裡的“負”，指“負號”。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括號內第一項係數是正的。防止學生出現諸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的錯誤?

如例2 △abc的三邊a、b、c有如下關係式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求證這個三角形是等腰三角形。

分析：此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。

證明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．

又∵a、b、c是△abc的三條邊，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，

即a＝c，△abc為等腰三角形。

例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）

這裡的“公”指“公因式”。如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；這裡的“1”，是指多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括號內切勿漏掉1。防止學生出現諸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的錯誤。

例4 在實數範圍內把x4－5x2－6分解因式。

解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）

這裡的“底”，指分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“乾淨”，不留“尾巴”，並使每一個括號內的多項式都不能再分解。防止學生出現諸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的錯誤。

由此看來，因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話：“先看有無公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”是一脈相承的。

這只是理論上的方法，至於實際上的，還得靠你自己多努力了。希望能對你有幫助。

參考資料：http://zhidao.baidu.com/question/97747010.html?si=1

二次三項式因式分解怎麼分

因為前兩個數字就是代表了第一個括號裡面的兩個係數，

而後面兩個數字代表了第二個括號裡面的兩個係數。

這個方法又叫交差相乘法，就是隻有不同括號裡面的係數才有可能相乘。

因式分解有哪幾種方法？

因式分解方法：

先看各項有沒有公因式，若有公因式，則先提取公因式；

具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的， 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的係數是正的。

再看能否使用公式法；

平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b) 

完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2 

立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2). 

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2). 

完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3 

a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)] 

a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數) 

對於二次三項式的多項式，在不能使用公式法時要考慮十字相乘法；

具體方法：對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c) 

對於四項或四項以上的多項式，要考慮分組分解法；

具體方法：要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n) 。

若以上方法均感到困難，可考慮用配方法、換元法、拆項法、添項法、待定係數法、求根法、圖象法、主元法、利用特殊值法等分解因式的方法。

（1）配方法：可將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

（2）換元法：可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

（3）拆、添項法：可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。 

（4）待定係數法：首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。 

（5）求根法：令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 。

（6）圖象法：令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x ) 。

（7）主元法：先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。 

（8）利用特殊值法：將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。