怎麼因式分解二次多項式

3次和4次多項式都可以用待定係數法。 3次多項式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個根來,然後判定它含有哪個一次因子,分解後就變為二次的了。分解因式的方法是多樣的，且其方法之間相互聯絡，一道題很可能要同時運用多種方法才可能完成。例

本文我們將從以下幾個部分來詳細介紹如何因式分解二次多項式（二次方程）：試錯法、分解法、三重方法、兩個平方之差、使用二次公式、用計算器

本文將教你如何因式分解二次多項式。一個多項式含有一個變數（x），x有特定的次數，多項式還有各種其他的變數和常數。要因式分解一個二次多項式成多個多項式因子相乘的形式，你的數學水平得達到代數I以上，否則不太容易理解本方法的原理。本文中都用到的標準形式的二次多項式：ax2 + bx + c = 0

設x^3-2x^2+3 =(x+1)(x^2+bx+3) =x^3+bx^+3x+x^2+bx+3 =x^3+(b+1)x^2+(3+b)x+3 所以： b+1=-2 3+b=0, 得到b=-3 即因式分解為：x^3-2x^2+3=(x+1)(x^2-3x+3). 至於多項式的分解，方法很多，有十字交叉、配方、公式法以及上面的計算方法等，具體選

第1步：寫下表達式。

解一元三次方程，首先要得到一個解，這個解可以憑藉經驗或者湊數得到，然後根據短除法得到剩下的項。 舉例說明解x³-3x²+4=0這題。 具體過程：我們觀察式子，很容易找到x=-1是方程的一個解，所以我們就得到一個項x+1。 剩下的項我們用

以次數高低排列，如果有最大公因數則提出來：6 + 6x2 + 13x，6x2 + 13x + 6

1、如果沒有常數項，把x提出來，就成2次多項式了 2、看能否用公式： X1·X2·X3=-d/a； X1·X2+X1·X3+X2·X3=c/a； X1+X2+X3=-b/a。 3、對於ax^3+bx^2+cx+d(對於x因式分解)，先求a,d的因數，比如p是a的因數，比如q是d的因數，把x=q/p帶入原式，如果

第2步：用以下方法之一，得出因式分解的結果：(2x + 3)(3x + 2)

x^3-5x^2+17x-13 看看x等於什麼可以使他等於0 顯然x=1可以 所以有一個因式是x-1 所以x^3-5x^2+17x-13 =x^3-x^2-4x^2+4x+13x-13 =x^2(x-1)-4x(x-1)+13(x-1) =(x-1)(x^2-4x+13)

第3步：用FOIL（首項相乘、外項相乘、內向相乘、次項相乘，這是展開多項式相乘的一種步驟方法）分解，併合並同類項：(2x + 3)(3x + 2)，6x2 + 4x + 9x + 6，6x2 + 13x + 6。

十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。 十字分解法能把二次三項式分解因式（不一定在整數範圍內）

第一部分：試錯法

如果是整係數一元三次多項式：ax^3+bx^2+cx+d ， 那麼分解成 (px+q)(mx^2+nx+v) ，須滿足： 1、p 必是 a 的約數； 2、q 必是 d 的約數 。 也可以把 x = q/p 代入多項式，如果結果 = 0 ，就說明有因式 px-q 。 如分解 2x^3 + 7x^2 + 4x - 3 ， 2

若你的多項式十分簡單，可以自己來發現因數。注意：用這個方法，可能不能因式分解更復雜的三項式了。例子: 3x2 + 2x - 8

提取公因式法； 分組分解法； 十字相乘法----a(x-p)(x-q)=0； 配方法----a(x-m)²+n=0； 公式法：x={-b±√(b²-4ac)}/(2a)

第1步：把a、c的因數寫出來：a = 3 因數有:

1、提公因式法 幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是

1 和 3，c = -8 因數: 2 和 4 和 1 和 8

1、提公因式法 幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。 具體方法：當各項係數都是

第2步：寫兩對括號，留點空白：( x )( x )

1、在數學中，由若干個單項式相加組成的代數式叫做多項式（若有減法：減一個數等於加上它的相反數）。多項式中的每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高項次數，就是這個多項式的次數。其中多項式中不含字母的項叫做常數項。 2、把一個多

第3步：把a可能的一對因數寫在x前：本例子中只有一對因數 (3

1. a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 根據上面的公式計算的6a^3+2ab^22 道理一樣 最後是=(a+b)(a^2-ab+b^2-1)3 （x-y）少了個三次方吧答案是（2x-y）（x^2+y^2-3xy）

x )(1

x )

第4步：在x項後面分別寫上成對的c的因數，先試試 (3x 8

3次多項式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個根來,然後判定它含有哪個一次因子,分解後就變為二次的了.下面的內容系統地介紹了因式分解的方法. 即和差化積，其最後結果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個多項式要能分解因式，則結果唯

)(x 1

)

第5步：決定x項和常數項的符號。

⑴提公因式法 ①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～. ②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m（a+b+c

以下是方法：如果ax2 + bx + c 則 (x + h)(x + k)，如果 ax2 - bx - c 或 ax2 + bx - c 則 (x - h)(x + k)。如果 ax2 - bx + c 則 (x - h)(x - k)。本例子中是 3x2 + 2x - 8 ，因此 (x - h)(x + k)是答案的形式，然後試試： (3x + 8)(x - 1)

找零點。 比如x=-1使代數式等於0， 則x+1一定是它的一個因式，然後再以這個罷工為基準進行因式分解。 原式＝x^3+x^2+3x^2+3x+2x+2 =x^2(x+1)+3x(x+1)+2(x+1) =(x+1)(x^2+3x+2) =(x+1)(x+1)(x+2) =(x+1)^2(x+2)

第6步：把兩個括號展開，如果中間項不對，則這種化簡不對（c的因數選錯了）。

把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個因式分解（也叫作分解因式）。它是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。 因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方

(3x + 8)(x - 1)，3x2 - 3x + 8x - 8，3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8

原式=-a^4+2(b^2+c^2)a^2-(b^2+c^2)^2+4b^2*c^2=4b^2*c^2-(a^2-b^2-c^2)^2=(2bc+b^2+c^2-a^2)(2bc-b^c-c^2+a^2)=((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)=(b+c-a)(b+c+a)(a-b+c)(a+b-c)

第7步：如果必要，則換掉因數。

把一個多項式在一個範圍（如有理數範圍內分解，即所有項均為有理數）化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫作分解因式。 原則： 1.結果最後只留下小括號 2.結果的多項式首項為正。 在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，

本例中我們試試2和4這對： (3x + 2)(x - 4)

因式分解沒有普遍的方法，國中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上，又有拆項和添減項法，分組分解法和十字相乘法，待定係數法，雙十字相乘法，對稱多項式輪換對稱多項式法，餘式定理法，求根公式法，換元法，長除法，短除法，

c 現在是-8。

把一個多項式在一個範圍(如實數範圍內分解，即所有項均為實數)化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式，和我們國小裡學的因數分解很類似。 1、如果多項式的首項為負，應先提取負號； 這裡的

但是外項和內項積分別是-12x 和 2x， 合併不成+2x。

f（x）=-2x^2+ax+a^2 可化為：f(x)=(a-x)(2x+a) 可以用因式分解： 公式：（x+c)(x+b)=x^2+(c+b)x+cb (qx+c)(px+b)=qpx^2+(cp+bq)x+cb 上述式子中：-2=qp a=(cp+bq) a^2=cb 就解得：q=2 p=-1 c=a b=a 所以 f（x）=-2x^2+ax+a^2 可化為：f(x)=(a-x

第8步：如果必要的話就調轉順序。

①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式； ②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解； ③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解； ④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止. (6

我們試試把2、4換個位置。 (3x + 4)(x - 2)

十字相乘法一般用於分解二次三項式。 三次三項式一般用拆項，減項，先提公共的因式,再像 二次那樣因式分解。 因式分解的步驟： 1.提取公因式：這個是最基本的.就是有公因式就提出來。（相同取出來剩下的相加或相減） 2.完全平方：看到式字內有兩

c 還是對的。

判別式大於等於0時，能用因式分解法來解。特殊情況下當判別式為一完全平方數時，可 用十字相乘法解。

外項積和內項積是-6x 和 4x， 則這兩個數的和同2x正好符號相反

因式分解拆添項法是多項式乘法的逆運算．在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合併為一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零。 在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合併或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多

第9步：然後再確認一下符號正負。

把一個多項式在一個範圍（如有理數範圍內分解，即所有項均為有理數）化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，也叫作分解因式。 原則： 1.結果最後只留下小括號 2.結果的多項式首項為正。 在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，

順序是沒錯的，現在把符號倒過來： (3x - 4)(x + 2)

c 還是對的。

判別式大於等於0時，能用因式分解法來解。特殊情況下當判別式為一完全平方數時，可 用十字相乘法解。

外項積和內項積現在6x 和 -4x。 加起來等於2x ，這次就對了。

第二部分：分解法

不喜歡猜的方法， 可以試試這個。

例子: 6x2 + 13x + 6

第1步：把a、c乘起來，本例中是：6?6 = 36

第2步：找出一對數字，乘起來是36，加起來又是b（13）：4?9 = 36 4 + 9 = 13

第3步：把兩個數字設為 k 和 h (順序隨意):

ax2 + kx + hx + c，6x2 + 4x + 9x + 6

第4步：整理成組，因式分解。

整理一下方程，使得可以提出最大公因式（(3x+2)），然後合併同類項，得到因式分解結果。6x2 + 4x + 9x + 6，2x(3x + 2) + 3(3x + 2)，(2x + 3)(3x + 2)

第三部分：三重方法

本方法很像分解法，不過更簡單例子: 8x2 + 10x + 2

第1步：將a、c兩項相乘。

8?2 = 16

第2步：找出兩個數字，相乘是16，相加又是b(10)。

2?8 = 16 8 + 2 = 10

第3步：將兩個數（ h 、 k）代入這個方程：(ax + h)(ax + k)---------------------- a(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8（如圖）

第4步：看看哪一個括號項可以被a整除，並且商是偶數。

a {本例中為(8x + 8)}。用a除以這個數，讓另一項保持原樣(8x + 8)(8x + 2)---------------------- 8，答案:(x + 1)(8x + 2)

第5步：如果兩括號有最大公因式，提出來：(x + 1)(8x + 2)，2(x + 1)(4x + 1)

第四部分：兩個平方之差

第1步：如果需要，則提出最大公因數。

27x2 - 12，3(9x2 - 4)

第2步：看看方程是否是兩個平方之差。

一定要有兩項，否則不能平均分解這個方程。√(9x2) = 3x ， √(4) = 2 （注意這裡省去了負數根。）

第3步：把“a”、“c”從你的等式中代入下列公式：(√(a) + √(c))(√(a) - √(c))3[(√(9x2) + √(4))(√(9x2) - √(4))]3[(3x + 2)(3x - 2)]

第五部分：使用二次公式

上述方法都不行，則用二次公式例如：x2 + 4x + 1

第1步：將對應量代入本方程：x = -b ± √(b2 - 4ac) --------------------- 2a，x = -4 ± √(42 - 4?1?1) ----------------------- 2?1（如圖）

第2步：解出x。

得到兩個x，x= -4 ± √(16 - 4) ------------------ 2x = -4 ± √(12) -------------- 2x = -4 ± √(4?3) -------------- 2x = -4 ± 2√(3) -------------- 2x = -2 ± √(3)，x = -2 + √(3) 或 x = -2 - √(3)（如圖）

第3步：把x值(h 、k) 代入方程 (x - h)(x - k)，(x - (-2 + √(3))(x - (-2 - √(3))，(x + 2 + √(3))(x + 2 - √(3))

第六部分：用計算器

這些步驟適合TI圖形計算器，在標準考試中尤其好用。

第1步：輸入[Y = ] ：y = x2 ? x ? 2

第2步：按下 [GRAPH]作圖。

第3步：找到和x 軸相交點得到(-1, 0), (2 , 0)，x = -1, x = 2

如果看不到，則按下[2nd] -[TRACE]， 按下 [2] 或選擇“0”。移到交點之左以後按下[ENTER]， 移到交點之右按下[ENTER]， 移到儘量接近和x軸相交的點旁邊，按下 [ENTER]，計算器就會自動算出該點的橫座標。對另一個交點也重複此步驟。

第4步：把x值(h 和 k)代入本公式： (x - h)(x - k)，(x - (-1))(x - 2)，整理為(x + 1)(x + (-2)) 表示出兩個交點來。

利用箱型法（可視解）

本網站有解釋: http://www.purplemath.com/modules/factquad3.htm

視訊說明: http://www.youtube.com/watch?v=bq1Iw1w1Bgo

小提示

若用二次公式因式分解了一個多項式，其中含有根數，可能需要將x換成分數來檢查該解是否正確。

如果一個項沒有係數，則係數是1。x2 = 1x2

如果有 TI-84 計算器 (可畫圖) ，則有一個叫做SOLVER的程式可以解二次方程，這個程式還可以解任何其他次數的多項式。

如果一個項不存在，則它的係數是0。有時把0項寫出來會比較方便，比如x2 + 6 = x2 + 0x + 6

在熟悉試錯法前，先把要試的因數寫下來，熟練了以後再在腦子中運算。

警告

如果你在數學課中學到了這個概念，要注意老師建議用什麼方式，就儘量不要用你喜歡的別的方式。因為老師可能會讓你在考試中用特定的一種方法來解，或者不讓你用圖畫計算器來解。

你需要準備

鉛筆

紙

二次方程，或叫二次多項式

畫圖計算器（可選）

擴充套件閱讀，以下內容您可能還感興趣。

因式分解有哪幾種？？計算方法是怎樣的

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數成為正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。

2、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。

3、待定係數法

例如，將ax2+bx+c(a,b,c是常數，ab≠0)因式分解，可令ax2+bx+c=0，再解這個方程。如果方程無解，則原式無法因式分解；如果方程有兩個相同的實數根(設為m)，則原式可以分解為(x-m)2如果方程有兩個不相等的實數根(分別設為m，n)，則原式可以分解為(x-m)(x-n)。

4、十字相乘法（數學術語）

十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項係數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項係數。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

十字分解法能把某些二次三項式分解因式。對於形如ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)的整式來說，方法的關鍵是把二次項係數a分解成兩個因數a₁,a₂的積a₁·a₂。

把常數項c分解成兩個因數c₁,c₂的積c₁·c₂，並使a₁c₂+a₂c₁正好等於一次項的係數b，那麼可以直接寫成結果：ax²+bx+c=(a₁x+c₁)(a₂x+c₂)。

擴充套件資料

韋達首先發現了因式分解的工具性和重要性，在其《論方程的整理和修改》中，首先給出代數方程的多項式因式分解方法，並證得所有三次和三次以上的一元多項式在實數範圍內皆可因式分解。

1637年笛卡兒（R. Descartes，1596-1650）在其《幾何學》中，首次應用待定係數法將4次方程分解為兩個2次方程求解，並最早給出因式分解定理。

笛卡兒還改進了韋達的一些數學符號，首先用x,y,z表示未知數，用a,b,c表示已知數，這些數學習慣沿用至今。有些人可能討厭數學，就是因其有太多符號和公式。

沒有數學符號，乘法公式用語言敘述是多麼囉嗦。故數學的進步在於其引進了較好的符號體系，使用數學符號是近代數學發展最為明顯的標誌之一。

參考資料來源：百度百科-因式分解法

什麼叫做多項式，什麼叫做多項式的因式分解

1、在數學中，由若干個單項式相加組成的代數式叫做多項式（若有減法：減一個數等於加上它的相反數）。多項式中的每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高項次數，就是這個多項式的次數。其中多項式中不含字母的項叫做常數項。

2、把一個多項式在一個範圍(如實數範圍內分解，即所有項均為實數)化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。

擴充套件資料：

多項式因式分解的原則：

1、分解因式是多項式的恆等變形，要求等式左邊必須是多項式。

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示。

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數。

4、結果最後只留下小括號，分解因式必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止；

5、結果的多項式首項一般為正。 在一個公式內把其公因子抽出，即透過公式重組，然後再抽出公因子；

6、括號內的首項係數一般為正；

7、如有單項式和多項式相乘，應把單項式提到多項式前。如(b+c)a要寫成a(b+c)；

8、考試時在沒有說明化到實數時，一般只化到有理數就夠了，有說明實數的話，一般就要化到實數。

口訣：首項有負常提負，各項有“公”先提“公”，某項提出莫漏1，括號裡面分到“底”。

參考資料來源：百度百科——因式分解

參考資料來源：百度百科——多項式

一元二次多項式因式分解，忘了怎麼做了。

這不叫一元二次多項式（a+b+a-b)[(a+b)

分解三次因式的方法？

3次多項式的因式分解方法主要還是先觀察出它的一個根來,然後判定它含有哪個一次因子,分解後就變為二次的了.下面的內容系統地介紹了因式分解的方法.

即和差化積，其最後結果要分解到不能再分為止。而且可以肯定一個多項式要能分解因式，則結果唯一，因為：數域F上的次數大於零的多項式f(x),如果不計零次因式的差異，那麼f(x)可以唯一的分解為以下形式：

f(x)=aP1k1(x)P2k2(x)…Piki(x)*,其中α是f(x)的最高次項的係數，P1(x),P2(x)……Pi（x）是首1互不相等的不可約多項式，並且Pi(x)(I=1,2…,t)是f(x)的Ki重因式。

（*）或叫做多項式f(x)的典型分解式。證明：可參見《高代》P52-53 初等數學中，把多項式的分解叫因式分解，其一般步驟為：一提二套三分組等要求為：要分到不能再分為止。

因式分解的方法與技巧

⑴提公因式法

①公因式：各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的～.

②提公因式法：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

am＋bm＋cm＝m（a+b+c）

③具體方法：當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的，一般要提出“－”號，使括號內的第一項的係數是正的.

⑵運用公式法

①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)

②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2

※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.

③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).

立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).

④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3

⑤a^n-b^n=(a-b)【a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)】

a^m+b^m=(a+b)【a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)】(m為奇數)

⑶分組分解法

分組分解法：把一個多項式分組後，再進行分解因式的方法.

分組分解法必須有明確目的，即分組後，可以直接提公因式或運用公式.

⑷拆項、補項法

拆項、補項法：把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項（或幾項），使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解；要注意，必須在與原多項式相等的原則進行變形.

⑸十字相乘法

①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的係數是1；常數項是兩個數的積；一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此，可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）

②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解

如果能夠分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 時，那麼

kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）

a \-----/b ac＝k bd＝n

c /-----\d ad＋bc＝m

※ 多項式因式分解的一般步驟：

①如果多項式的各項有公因式，那麼先提公因式；

②如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

③如果用上述方法不能分解，那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解；

④分解因式，必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止.

(6)應用因式定理：如果f（a）=0，則f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，則可確定（x+2）是x^2+5x+6的一個因式。

經典例題：

1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2

解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=【(1+y)+x^2(1-y)】^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)

=【(1+y)+x^2(1-y)】^2-(2x)^2

=【(1+y)+x^2(1-y)+2x】·【(1+y)+x^2(1-y)-2x】

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)

=【(x+1)^2-y(x^2-1)】【(x-1)^2-y(x^2-1)】

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)

2.證明：對於任何數x,y，下式的值都不會為33

x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5

解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)

當y=0時，原式=x^5不等於33；當y不等於0時，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四個以上不同因數的積，所以原命題成立

因式分解的十二種方法

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：

1、 提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市會考題)

x -2x -x=x(x -2x-1)

2、 應用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市會考題)

解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、 分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m +5n-mn-5m

解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n

= (m -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x -19x-6

分析： 1 -3

7 2

2-21=-19

解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)

5、配方法

對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x +3x-40

解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40

=(x+ ) -( )

=(x+ + )(x+ - )

=(x+8)(x-5)

6、拆、添項法

可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

例7、分解因式2x -x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x

=x 【2(x + )-(x+ )-6

令y=x+ , x 【2(x + )-(x+ )-6

= x 【2(y -2)-y-6】

= x (2y -y-10)

=x (y+2)(2y-5)

=x (x+ +2)(2x+ -5)

= (x +2x+1) (2x -5x+2)

=(x+1) (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6

解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法

令y=f(x)，做出函式y=f(x)的圖象，找到函式圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )

例9、因式分解x +2x -5x-6

解：令y= x +2x -5x-6

作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2

則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)

分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列

解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)

=(b-c) 【a -a(b+c)+bc】

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的係數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值

則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定係數法

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

解：設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)

= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd

所以 解得

則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)