如何求等差數列的任意項

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目錄方法1：求等差數列的下一項1、求得數列的公差。2、檢查公差是否一致。3、用公差加上最後的已知項。方法2：求缺少的中間項1、首先檢查是否是等差數列。2、用公差加上空格前的那一項。3、用空格後的數字減去公差。4、比較結果。方法3：求等差數列的第N項1、確定數列的第一項。2、設公差為d。3、使用顯式公式。4、填入已知資訊解題。方法4：使用顯式公式求其他數值1、對顯式公式進行變形，求其他變數。2、求數列的第一項。3、求數列的項數。等差數列是每一項與它前面一項的差等於一個常數的數列。例如，偶數列

方法1：求等差數列的下一項

1、求得數列的公差。面對一組數字時，有時題目會告訴你它們是等差數列，而有時你必須自己認識到這一點。無論是哪種情況，第一步都是相同的。從幾個數字中選擇最開始的兩項。用第二項減去第一項。所得結果就是數列的公差。例如，假設有一組數字 ${displaystyle 1,4,7,10,13}$ …。用 ${displaystyle 4-1}$ ，求得公差為3。

假設有一列各項不斷變小的數字，如 ${displaystyle 25,21,17,13}$ …。還是用第二項減去第一項來求出公差。這種情況下， ${displaystyle 21-25=-4}$ 。負數結果說明從左到右看時，這組數字在逐漸變小。每次做題時，你都應該檢查公差的正負號，看是否與數字的變化趨勢相符。

2、檢查公差是否一致。只計算前兩項的公差，不足以保證數列是等差數列。你需要確保整列數字的差值始終一致。。將數列中另外兩個連續項相減，檢查它們的差值。如果結果與另外一到兩次的結果一致，那麼它就很可能是等差數列。還是以數列 ${displaystyle 1,4,7,10,13}$ …為例，選擇數列的第二項和第三項。用 ${displaystyle 7-4}$ ，差值仍然為3。保險起見，再選兩個連續項相減， ${displaystyle 13-10}$ ，差值為3，還是與之前的結果相吻合。現在，你可以比較確定它是一組等差數列了。

有時，數列的前幾項看上去像等差數列，但之後卻不符合等差數列的特徵。例如，數列 ${displaystyle 1,2,3,6,9}$ …。第一項和第二項之間的差是1，而第二項和第三項之間的差也是1。但是，第三項和第四項之間的差是3。由於數列各項之差並不相等，所以它不是等差數列。

3、用公差加上最後的已知項。知道公差後，求等差數列的下一項就非常簡單了。只需用公差加上最後的已知項，就可以得出下一個數字。例如，在示例 ${displaystyle 1,4,7,10,13}$ …中，要算出下一個數字，你可以用公差3加上最後的已知項。 ${displaystyle 13+3}$ 等於16，16就是下一個數字。只要願意，你可以不斷加3，寫出數列後面的數字。例如，將數列後面的數字寫出來後，我們得到 ${displaystyle 1,4,7,10,13,16,19,22,25}$ …。你可以一直寫下去，直到滿意為止。

方法2：求缺少的中間項

1、首先檢查是否是等差數列。某些情況下，題目會給出一組缺少中間項的數字。和之前一樣，首先你應該檢查數列是否是等差數列。選擇任意的連續兩項數字，計算它們之間的差值。比較結果與數列中另外兩個連續數字的差值。如果差值相等，那麼你可以假設自己面對的是一個等差數列，然後繼續使用本文的等差數列方法。例如，假設有一個數列 ${displaystyle 0,4}$ ,___, ${displaystyle 12,16,20}$ …。先用 ${displaystyle 4-0}$ ，求得差值為4。比較另外兩個連續數字的差，如 ${displaystyle 16-12}$ 。差值仍等於4。因此，你可以將之當做等差數列，繼續解題。

2、用公差加上空格前的那一項。方法和求數列最後一項類似。找到數列中空格前的那一項。這是已知的"最後一個"數字。用公差加上該項，算出應該填入空格的數字。在當前示例中， ${displaystyle 0,4}$ ,____, ${displaystyle 12,16,20}$ …，空格前的數字是4，而此數列的公差也是4。所以，用 ${displaystyle 4+4}$ ，得到8，它應該就是空格中的數字。

3、用空格後的數字減去公差。為了確保答案正確，可以從另一個方向來進行檢查。無論是正序還是倒序，等差數列應該都符合自身特點。如果從左到右需要逐項加4，那麼反過來，從右到左就正好相反，需要逐項減4。在當前示例中， ${displaystyle 0,4}$ ,___, ${displaystyle 12,16,20}$ …，空格後的數字是12。用該項減去公差，得到 ${displaystyle 12-4=8}$ 。你應該將結果8填入空格中。

4、比較結果。用左邊項加公差和用右邊項減公差算出來的兩個結果應該相等。如果相等，說明你已經求得缺少項的值。如果不相等，則說明你需要檢查自己的計算過程。題目中的數列可能並非等差數列。在當前示例中， ${displaystyle 4+4}$ 和 ${displaystyle 12-4}$ 算得的結果都是8。因此，該等差數列的缺少項為8。完整的數列是 ${displaystyle 0,4,8,12,16,20}$ …。

方法3：求等差數列的第N項

1、確定數列的第一項。並非所有序列都以數字0或數字1開始。檢視題中的數列，找到第一項。它是計算的起點，可以使用變數a(1)代表。面對等差數列問題時，經常會使用變數a(1)來指代數列的第一項。當然，你可以選擇自己喜歡的任何變數，這並不會影響到結果。

例如，已知數列 ${displaystyle 3,8,13,18}$ …，第一項是 ${displaystyle 3}$ ，我們可以用a(1)來指代。

2、設公差為d。用上文所述方法求出數列的公差。在當前示例中，公差等於 ${displaystyle 8-3}$ ，等於5。使用數列中的其他數字進行檢查，得到同樣的結果。我們用變數d來指代該公差。

3、使用顯式公式。顯式公式是一個代數方程，使用它來求等差數列的任意項時，你無須寫出完整數列。等差數列的顯式公式為 ${displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}$ 。a(n)項可以讀作"a的第n項"，其中n代表數列中你想求出的項數，而a(n)是該項的實際數值。例如，如果題目要求你求等差數列的第100項，那麼n等於100。注意，在本示例中，n等於100，但a(n)等於第100項的值，而不等於數字100本身。

4、填入已知資訊解題。使用數列的顯式公式，填入已知資訊，求出需要的項。例如，在本示例中， ${displaystyle 3,8,13,18}$ …，我們知道a(1)是第一項，等於3，而公差d等於5。假設題目要求你求出數列的第100項，則n=100，而(n-1)=99。填入數值後，完成顯式公式，得到 ${displaystyle a(100)=3+(99)(5)}$ 。簡化後的結果是498，這個數字就是該數列的第100項。

方法4：使用顯式公式求其他數值

1、對顯式公式進行變形，求其他變數。使用顯式公式和基礎的代數知識，你可以算出等差數列的幾個其他數值。顯式公式的初始形式是 ${displaystyle a(n)=a(1)+(n-1)d}$ ，其目的是求an，也就是數列的第n項。但是，你可以對公式進行代數變形，來計算任何其他變數。例如，假設數列的最後一個數字已知，需要你計算數列最開始的數字。你可以將公式變形，得到 ${displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}$ 。

如果你知道等差數列的第一個數字和最後一個數字，但需要算出該數列的項數，你可以將顯式公式變形來求出n。公式變形後可得 ${displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}$ 。

如果為了將公式變形，你需要複習基礎的代數知識，可以參閱本網站的學習代數或化簡代數表示式相關文章。

2、求數列的第一項。已知等差數列的第50項為300，且每項比之前一項大7，即"公差"等於7，求序列第一項的值。使用變形後的顯式公式來計算a1，求得問題的答案。使用方程 ${displaystyle a(1)=(n-1)d-a(n)}$ ，然後代入已知資訊。由於已知第50項為300，所以n=50，n-1=49，且a(n)=300。題目還提供了公差d的值，d等於7。因此，公式變為 ${displaystyle a(1)=(49)(7)-300}$ 。得到 ${displaystyle 343-300=43}$ 。數列的第一項是43，每一項比前一項大7。因此，數列可以寫作 43,50,57,64,71,78…293,300。

3、求數列的項數。假設你只知道等差數列的第一項和最後一項，需要求數列的項數。使用變形後的公式 ${displaystyle n={frac {a(n)-a(1)}{d}}+1}$ 。假設已知等差數列的第一項是100，公差為13。題目還告知最後一項是2,856。要計算數列的項數，可以用到的資訊有a1=100，d=13，以及a(n)=2856。將這些值代入公式，得到 ${displaystyle n={frac {2856-100}{13}}+1}$ 。計算後，可得 ${displaystyle n={frac {2756}{13}}+1}$ ，等於212+1，即213。所以該序列有213項。