排列組合及基本公式怎麼計算
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排列的定義及其計算公式:從n個不同元素中,任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同)個元素按照一定的順
所謂排列,就是指從給定個數的元素中取出指定個數的元素進行排序。組合則是指從給定個數的元素中僅僅取出指定個數的元素,不考慮排序。
排列組合計算公式,如下:從n個不同元素中,任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同)個不同的元素按照一
工具/材料
紙,筆
操作方法
接下來我們先來看看排列的基本公式;
排列的定義及其計算公式:從n個不同元素中,任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同)個元素按照一定的順
再看看組合的基本公式;
1、排列組合中,組合的計算公式為:2、計算舉例:擴充套件資料:一個正整數的階乘,是所有小於及等
接下來就小試牛刀的來做兩個例題;
排列組合計算公式,如下:從n個不同元素中,任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同)個不同的元素按照一
如下圖所示,就是解排列題方法和步驟;
的階乘 組合的公式 是 用C來表示 的 http://baike.baidu.com/view/738955.htm 排列:從 按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列. 組合:從n個不
如下圖所示,就是解組合題方法和步驟。
如果只有一個組合 C(4,1)*C(4,1)--4個人選擇一個,再從4個情況選擇一種 如果有兩種組合 C(4,2)*C(4,1)--4個人選擇兩個,再從4個情況選擇一種 如果有三種組合 C(4,3)*C(4,1)
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排列組合的基本公式。
列組合公式/排列組合計算公式
排列 p------和順序有關
組合 c -------不牽涉到順序的問題
排列分順序,組合不分
例如 把5本不同的書分給3個人,有幾種分法. "排列"
把5本書分給3個人,有幾種分法 "組合"
1.排列及計算公式
從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號 p(n,m)表示.
p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(規定0!=1).
2.組合及計算公式
從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素併成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數.用符號
c(n,m) 表示.
c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);
3.其他排列與組合公式
從n個元素中取出r個元素的迴圈排列數=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.
n個元素被分成k類,每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為
n!/(n1!*n2!*...*nk!).
k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為c(m+k-1,m).
排列(pnm(n為下標,m為上標))
pnm=n×(n-1)....(n-m+1);pnm=n!/(n-m)!(注:!是階乘符號);pnn(兩個n分別為上標和下標) =n!;0!=1;pn1(n為下標1為上標)=n
組合(cnm(n為下標,m為上標))
cnm=pnm/pmm ;cnm=n!/m!(n-m)!;cnn(兩個n分別為上標和下標) =1 ;cn1(n為下標1為上標)=n;cnm=cnn-m
2008-07-08 13:30
公式p是指排列,從n個元素取r個進行排列。公式c是指組合,從n個元素取r個,不進行排列。n-元素的總個數 r參與選擇的元素個數 !-階乘 ,如 9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1
從n倒數r個,表示式應該為n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1);
因為從n到(n-r+1)個數為n-(n-r+1)=r
舉例:
q1: 有從1到9共計9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數?
a1: 123和213是兩個不同的排列數。即對排列順序有要求的,既屬於“排列p”計算範疇。
上問題中,任何一個號碼只能用一次,顯然不會出現988,997之類的組合, 我們可以這麼看,百位數有9種可能,十位數則應該有9-1種可能,個位數則應該只有9-1-1種可能,最終共有9*8*7個三位數。計算公式=p(3,9)=9*8*7,(從9倒數3個的乘積)
q2: 有從1到9共計9個號碼球,請問,如果三個一組,代表“三國聯盟”,可以組合成多少個“三國聯盟”?
a2: 213組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的,屬於“組合c”計算範疇。
上問題中,將所有的包括排列數的個數去除掉屬於重複的個數即為最終組合數c(3,9)=9*8*7/3*2*1
排列、組合的概念和公式典型例題分析
例1 設有3名學生和4個課外小組.(1)每名學生都只參加一個課外小組;(2)每名學生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法?
解(1)由於每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個,而不*每個課外小組的人數,因此共有 種不同方法.
(2)由於每名學生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學生參加,因此共有 種不同方法.
點評 由於要讓3名學生逐個選擇課外小組,故兩問都用乘法原理進行計算.
例2 排成一行,其中 不排第一, 不排第二, 不排第三, 不排第四的不同排法共有多少種?
解 依題意,符合要求的排法可分為第一個排 、 、 中的某一個,共3類,每一類中不同排法可採用畫“樹圖”的方式逐一排出:
∴ 符合題意的不同排法共有9種.
點評 按照分“類”的思路,本題應用了加法原理.為把握不同排法的規律,“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計數問題的一種數學模型.
例3 判斷下列問題是排列問題還是組合問題?並計算出結果.
(1)高三年級學生會有11人:①每兩人互通一封信,共通了多少封信?②每兩人互握了一次手,共握了多少次手?
(2)高二年級數學課外小組共10人:①從中選一名正組長和一名副組長,共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數學競賽,有多少種不同的選法?
(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八個質數:①從中任取兩個數求它們的商可以有多少種不同的商?②從中任取兩個求它的積,可以得到多少個不同的積?
(4)有8盆花:①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法?
分析 (1)①由於每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信,所以與順序有關是排列;②由於每兩人互握一次手,甲與乙握手,乙與甲握手是同一次握手,與順序無關,所以是組合問題.其他類似分析.
(1)①是排列問題,共用了 封信;②是組合問題,共需握手 (次).
(2)①是排列問題,共有 (種)不同的選法;②是組合問題,共有 種不同的選法.
(3)①是排列問題,共有 種不同的商;②是組合問題,共有 種不同的積.
(4)①是排列問題,共有 種不同的選法;②是組合問題,共有 種不同的選法.
例4 證明 .
證明 左式
右式.
∴ 等式成立.
點評 這是一個排列數等式的證明問題,選用階乘之商的形式,並利用階乘的性質 ,可使變形過程得以簡化.
例5 化簡 .
解法一 原式
解法二 原式
點評 解法一選用了組合數公式的階乘形式,並利用階乘的性質;解法二選用了組合數的兩個性質,都使變形過程得以簡化.
例6 解方程:(1) ;(2) .
解 (1)原方程
解得 .
(2)原方程可變為
∵ , ,
∴ 原方程可化為 .
即 ,解得
第六章 排列組合、二項式定理
一、考綱要求
1.掌握加法原理及乘法原理,並能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題.
2.理解排列、組合的意義,掌握排列數、組合數的計算公式和組合數的性質,並能用它們解決一些簡單的問題.
3.掌握二項式定理和二項式係數的性質,並能用它們計算和論證一些簡單問題.
二、知識結構
三、知識點、能力點提示
(一)加法原理乘法原理
說明 加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎,掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關問題提供了理論根據.
例1 5位高中畢業生,準備報考3所高等院校,每人報且只報一所,不同的報名方法共有多少種?
解: 5個學生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名,因而每個學生都有3種不同的 報名方法,根據乘法原理,得到不同報名方法總共有
3×3×3×3×3=35(種)
(二)排列、排列數公式
說明 排列、排列數公式及解排列的應用題,在中學代數中較為獨特,它研 究的物件以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識不同,內容抽象,解題方法比較靈活,歷屆大學聯考主要考查排列的應用題,都是選擇題或填空題考查.
例2 由數字1、2、3、4、5組成沒有重複數字的五位數,其中小於50 000的 偶數共有( )
a.60個 b.48個 c.36個 d.24個
解 因為要e69da5e6ba90e79fa5e9819331333335316532求是偶數,個位數只能是2或4的排法有p12;小於50 000的五位數,萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有p13;在首末兩位數排定後,中間3個位數的排法有p33,得p13p33p12=36(個)
由此可知此題應選c.
例3 將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數字,則每個方格的標號與所填的數字均不同的填法有多少種?
解: 將數字1填入第2方格,則每個方格的標號與所填的數字均不相同的填法有3種,即214 3,3142,4123;同樣將數字1填入第3方格,也對應著3種填法;將數字1填入第4方格,也對應3種填法,因此共有填法為
3p13=9(種).
例四 例五可能有問題,等思考
三)組合、組合數公式、組合數的兩個性質
說明 歷屆大學聯考均有這方面的題目出現,主要考查排列組合的應用題,且基本上都是由選擇題或填空題考查.
例4 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其中至少有甲型與乙型電視機各1臺,則不同的取法共有( )
a.140種 b.84種 c.70種 d.35種
解: 抽出的3臺電視機中甲型1臺乙型2臺的取法有c14·c25種;甲型2臺乙型1臺的取法有c24·c15種
根據加法原理可得總的取法有
c24·c25+c24·c15=40+30=70(種 )
可知此題應選c.
例5 甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程,甲公司承包3項,乙公司承包1 項,丙、丁公司各承包2項,問共有多少種承包方式?
解: 甲公司從8項工程中選出3項工程的方式 c38種;
乙公司從甲公司挑選後餘下的5項工程中選出1項工程的方式有c15種;
丙公司從甲乙兩公司挑選後餘下的4項工程中選出2項工程的方式有c24種;
丁公司從甲、乙、丙三個公司挑選後餘下的2項工程中選出2項工程的方式有c22種.
根據乘法原理可得承包方式的種數有c3 8×c15×c24×c22= ×1=1680(種).
(四)二項式定理、二項展開式的性質
說明 二項式定理揭示了二項式的正整數次冪的展開法則,在數學中它是常用的基礎知識 ,從1985年至1998年曆屆大學聯考均有這方面的題目出現,主要考查二項展開式中通項公式等,題型主要為選擇題或填空題.
例6 在(x- )10的展開式中,x6的係數是( )
a.-27c610 b.27c410 c.-9c610 d.9c410
解 設(x- )10的展開式中第γ+1項含x6,
因tγ+1=cγ10x10-γ(- )γ,10-γ=6,γ=4
於是展開式中第5項含x 6,第5項係數是c410(- )4=9c410
故此題應選d.
例7 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)+(x-1)5的展開式中的x2的係數等於
解:此題可視為首項為x-1,公比為-(x-1)的等比數列的前5項的和,則其和為
在(x-1)6中含x3的項是c36x3(-1)3=-20x3,因此展開式中x2的係數是-2 0.
(五)綜合例題賞析
例8 若(2x+ )4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為( )
a.1 b.-1 c.0 d.2
解:a.
例9 2名醫生和4名*被分配到2所學校為學生體檢,每校分配1名醫生和2 名*,不同的分配方法共有( )
a.6種 b.12種 c.18種 d.24種
解 分醫生的方法有p22=2種,分*方法有c24=6種,所以共有6×2=12種不同的分配方法。
應選b.
例10 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其 中至少要有甲型與乙型電視機各1臺,則不同取法共有( ).
a.140種 b.84種 c.70種 d.35種
解:取出的3臺電視機中,甲型電視機分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形.
∵c24·+c25·c14=5×6+10×4=70.
∴應選c.
例11 某小組共有10名學生,其中女生3名,現選舉2 名代表,至少有1名女生當選的不同選法有( )
a.27種 b.48種 c.21種 d.24種
解:分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類:
∵c13·c1 7+c23=3×7+3=24,
∴應選d.
例12 由數學0,1,2,3,4,5組成沒有重複數字的 六位數,其中個位數字小於十位數字的共有( ).
a.210個 b.300個
c.464個 d.600個
解:先考慮可組成無*條件的六位數有多少個?應有p15·p 55=600個.
由對稱性,個位數小於十位數的六位數和個位數大於十位數的六位數各佔一半.
∴有 ×600=300個符合題設的六位數.
應選b.
例13 以一個正方體的頂點為頂點的 四面體共有( ).
a.70個 b.64個
c.58個 d.52個
解:如圖,正方體有8個頂點,任取4個的組合數為c48=70個.
其*面四點分3類:構成側面的有6組;構成垂直底面的對角面的有2組;形如(adb1c1 )的有4組.
∴能形成四面體的有70-6-2-4=58(組)
應選c.
例14 如果把兩條異面直線看成“一對”,那麼六稜 錐的稜所在的12條直線中,異面直線共有( ).
a.12對 b.24對
c.36對 d.48對
解:設正六稜錐為o—abcdef.
任取一側稜oa(c16)則oa與bc、cd、de、ef均形成異面直線對.
∴共有c16×4=24對異面直線.
應選b.
例15 正六邊形的中心和頂點共7個點,以其中三個點 為頂點的三角形共 個(以數字作答).
解:7點中任取3個則有c37=35組.
其中三點共線的有3組(正六邊形有3條直徑).
∴三角形個數為35-3=32個.
例16 設含有10個元素的集合的全部子集數為s,其中由3個元素組成的子集數為t,則 的值為 。
解 10個元素的集合的全部子集數有:
s=c010+c110+c210+c310+c410+c510+c610+c710+c810+c910+c1010=2 10=1024
其中,含3個元素的子集數有t=c310=120
故 =
例17 例17 在50件產品 n 中有4件是次品,從中任意抽了5件 ,至少有3件是次品的抽法共
種(用數字作答).
解:“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.
∴c34·c246+c44·c146=4186(種)
例18 有甲、乙、丙三項任務,甲需2人承擔,乙、 丙各需1人承擔,從10人中選派4人承擔這三項任務,不同的選法共有( ).
a.1260種 b.2025種
c.2520種 d.5040種
解:先從10人中選2個承擔任務甲(c210)
再從剩餘8人中選1人承擔任務乙(c1 8)
又從剩餘7人中選1人承擔任務乙(c1 7)
∴有c210·c1 8c1 7=2520(種).
應選c.
例19 集合{1,2,3}子集總共有( ).
a.7個 b.8個 c.6個 d.5個
解 三個元素的集合的子集中,不含任何元素的子集有一個,由一個元素組成的子集數
c13,由二個元素組成的子集數c23。
由3個元素組成的子集數c33。由加法原理可得集合子集的總個數是
c13+c23+c33+1=3+3+1+1=8
故此題應選b.
例20 假設在200件產品中有3件是次品,現在從中任意抽取5件,其中至少有兩件次品的抽法有( ).
a.c23c3197種 b.c23c3197 +c33c2197
c.c5200-c5197 d.c5200-c 13c4197
解:5件中恰有二件為次品的抽法為c23c3197,
5件中恰三件為次品的抽法為c33c2197,
∴至少有兩件次品的抽法為c23c3197+c33c2197.
應選b.
例21 兩排座位,第一排有3個座位,第二排有5個座位,若8名學生入座(每人一個座位),則不同座法的總數是( ).
a.c58c38 b.p12c58c38 c.p58p38追問能否簡單點?追答(一)兩個基本原理是排列和組合的基礎
(1)加法原理:做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那麼完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法.
(2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那麼完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法.
(二)排列和排列數
(1)排列:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
從排列的意義可知,如果兩個排列相同,不僅這兩個排列的元素必須完全相同,而且排列的順序必須完全相同,這就告訴了我們如何判斷兩個排列是否相同的方法.
(2)排列數公式:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列
當m=n時,為全排列Pnn=n(n-1)(n-1)…3·2·1=n!
(三)組合和組合數
(1)組合:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素併成一組,叫做從 n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
從組合的定義知,如果兩個組合中的元素完全相同,不管元素的順序如何,都是相同的組合;只有當兩個組合中的元素不完全相同時,才是不同的組合.
(2)組合數:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個
這裡要注意排列和組合的區別和聯絡,從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,“按照一定的順序排成一列”與“不管怎樣的順序併成一組”這是有本質區別的.本回答被提問者採納
排列組合的公式
排列的定義及其計算公式:從n個不同元素中,任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同)個元素按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號 A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外規定0!=1
排列組合
組合的定義及其計算公式:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素併成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)∧2/m!=A(n,m)/m!; C(n,m)=C(n,n-m)。(其中n≥m)
其他排e68a847a686964616f31333365666263列與組合公式 從n個元素中取出m個元素的迴圈排列數=A(n,m)/m=n!/m(n-m)!. n個元素被分成k類,每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為 n!/(n1!×n2!×...×nk!). k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為C(m+k-1,m)。
擴充套件資料
1、加法原理:做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法,那麼完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。
⒉、第一類辦法的方法屬於集合A1,第二類辦法的方法屬於集合A2,……,第n類辦法的方法屬於集合An,那麼完成這件事的方法屬於集合A1UA2U…UAn。
⒊、分類的要求 :每一類中的每一種方法都可以獨立地完成此任務;兩類不同辦法中的具體方法,互不相同(即分類不重);完成此任務的任何一種方法,都屬於某一類(即分類不漏)。
⑵乘法原理和分步計數法
⒈、 乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法,那麼完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。
⒉、合理分步的要求
任何一步的一種方法都不能完成此任務,必須且只須連續完成這n步才能完成此任務;各步計數相互獨立;只要有一步中所採取的方法不同,則對應的完成此事的方法也不同。
參考資料:排列組合的百度百科
排列組合公式是什麼,舉例說一下謝謝怎麼計算
排列的定義及其計算公式:從n個不同元素中,任取m(m≤n,m與n均為自然數,下同)個元素按照一定的順序排成一列,叫做7a686964616fe58685e5aeb931333431336161從n個不同元素中取出m個元素的一個排列;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數,用符號 A(n,m)表示。A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! 此外規定0!=1(n!表示n(n-1)(n-2)...1,也就是6!=6x5x4x3x2x1
組合的定義及其計算公式:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素併成一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合;從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有組合的個數,叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數。用符號 C(n,m) 表示。C(n,m)=A(n,m)/m!;C(n,m)=C(n,n-m)。(n≥m)
其他排列與組合公式 從n個元素中取出m個元素的迴圈排列數=A(n,m)/m!=n!/m!(n-m)!. n個元素被分成k類,每類的個數分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數為 n!/(n1!×n2!×...×nk!). k類元素,每類的個數無限,從中取出m個元素的組合數為C(m+k-1,m)。
排列組合中A和C怎麼算啊
計算方法如下:
排列A(n,m)=n×(n-1).(n-m+1)=n!/(n-m)!(n為下標,m為上標,以下同)
組合C(n,m)=P(n,m)/P(m,m) =n!/m!(n-m)!;
例如A(4,2)=4!/2!=4*3=12
C(4,2)=4!/(2!*2!)=4*3/(2*1)=6
擴充套件資料:基本理論和公式
排列與元素的順序有關,組合與順序無關。如231與213是兩個排列,2+3+1的和與2+1+3的和是一個組合。
(一)兩個基本原理是排列和組合的基礎
(1)加法原理:做一件事,完成7a64e4b893e5b19e31333365666263它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,第n類辦法中有mn種不同的方法,那麼完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。
(2)乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,做第n步有mn種不同的方法,那麼完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn種不同的方法。
這裡要注意區分兩個原理,要做一件事,完成它若是有n類辦法,是分類問題,第一類中的方法都是獨立的,因此用加法原理;做一件事,需要分n個步驟,步與步之間是連續的,只有將分成的若干個互相聯絡的步驟,依次相繼完成,這件事才算完成,因此用乘法原理。這樣完成一件事的分“類”和“步”是有本質區別的,因此也將兩個原理區分開來。
(二)排列和排列數
(1)排列:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.
從排列的意義可知,如果兩個排列相同,不僅這兩個排列的元素必須完全相同,而且排列的順序必須完全相同,這就告訴了我們如何判斷兩個排列是否相同的方法.
(2)排列數公式:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列
當m=n時,為全排列Pnn=n(n-1)(n-2)…3·2·1=n!
參考資料:百度百科--排列數公式
排列組合的計算方法
組合用符號C(n,m)表示,m≦n。
公式是:C(n,m)=A(n,m)/m! 或 C(n,m)=C(n,n-m)。
例如:C(5,3)=A(5,3)/[3!x(5-3))!]=(1x2x3x4x5)/[2x(1x2x3)]=10.
排列用符號A(n,m)表示,m≦n。
計算公式是:A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!
此外規定0!=1,n!表示n(n-1)(n-2)…1
例如:6!=6x5x4x3x2x1=720,4!=4x3x2x1=24。
擴充套件資料:
1、假設C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為奇數:
則有:(n-1)&k == k;
(n-1)&(k-1) == k-1;
由於k和k-1的最後一位(在這裡的位指的是二進位制的位,下同)必然是不同的,所以e68a84e8a2ade799bee5baa631333431356661n-1的最後一位必然是1。
現假設n&k == k。
則同樣因為n-1和n的最後一位不同推出k的最後一位是1。
因為n-1的最後一位是1,則n的最後一位是0,所以n&k != k,與假設矛盾。
所以得n&k != k。
2、假設C(n-1,k)和C(n-1,k-1)為偶數:
則有:(n-1)&k != k;
(n-1)&(k-1) != k-1;
現假設n&k == k.
則對於k最後一位為1的情況:
此時n最後一位也為1,所以有(n-1)&(k-1) == k-1,與假設矛盾。
而對於k最後一位為0的情況:
則k的末尾必有一部分形如:10; 代表任意個0。
相應的,n對應的部分為:1{*}*; *代表0或1。
而若n對應的{*}*中只要有一個為1,則(n-1)&k == k成立,所以n對應部分也應該是10。
則相應的,k-1和n-1的末尾部分均為01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立,與假設矛盾。
所以得n&k != k。
由1)和2)得出當C(n,k)是偶數時,n&k != k。
3、假設C(n-1,k)為奇數而C(n-1,k-1)為偶數:
則有:(n-1)&k == k;
(n-1)&(k-1) != k-1;
顯然,k的最後一位只能是0,否則由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1。
所以k的末尾必有一部分形如:10;
相應的,n-1的對應部分為:1{*}*;
相應的,k-1的對應部分為:01;
則若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 則要求n-1對應的{*}*中至少有一個是0.
所以n的對應部分也就為 :1{*}*; (不會因為進位變1為0)
所以 n&k = k。
參考資料來源:百度百科-排列組合
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