冪級數求和：0到正無窮x^n/n+1怎麼作，請賜教多謝 0到正無窮怎麼寫

令a_n = x^n/(n+1)。嚴格來講，這個題解法如下

(1)確定級數收斂域

用比值判別法

|a_{n+1}/a_n| = |x|(n+1)/n+2 -> |x| (n ->；∞)。因此當|x|<1時，級數絕對收斂。當|x| > 1時，級數發散。當x = -1時，級數為交錯調和級數，收斂。當x = 1時，級數為調和級數，發散。故收斂域為-1 ≤ x < 1。

(2)根據定義，任意實數的0次冪等於1,0也不例外，即0^0 = 1。對於n > 0，有0^n = 0。顯然S(0)=1。

令Sn(x)為前n項和，當x在[-1,1）內且x≠0時，有

Sn(x) = 1/x Σ{k=0,n} x^(k+1)/(k+1)

記fn(x) = Σ{k=1,n} x^(k+1)/(k+1)，則Sn(x) = (fn(x)+x)/x。

dfn(x)/dx = Σ{k=1,n} d[x^(k+1)/(k+1)]/dx

= Σ{k=1,n} x^(k-1)

= (1-x^n)/(1-x)。

可見fn'(x) = (1-x^n)/[x(1-x)]，根據牛頓-萊布尼茲公式，有

fn(x) - fn(0) = ∫{0,x} (1-t^n)/(1-t) dt

= ∫{0,x}1/(1-t) dt - ∫{0,x}t^n/(1-t) dt

= ln(1-x) - ∫{0,x} t^n/(1-t) dt

從而

Sn(x) = (ln(1-x) - ∫{0,x} t^n/(1-t) dt + fn(0) + x)/x= ln(1-x)/x + 1 + fn(0)/x - (1/x) ∫{0,x}t^n/(1-t) dt。易知對任意n>0,fn(0) = 0，故Sn(x) = ln(1-x)/x + 1 - (1/x) ∫{0,x} t^n/(1-t) dt。從而

S(x) = lim{n->；∞} Sn(x)

=lim{n->；∞} [ ln(1-x)/x + 1 - (1/x) ∫{0,x} t^n/(1-t) dt]

= ln(1-x)/x + 1 - lim{n->；∞}∫{0,x} t^n/(1-t) dt。

注意到當-1<x<1時，∫{0,x} t^n/(1-t) dt < |x| |x|^n -> 0 (n->；∞)。同時當x = -1時，也可證明∫{0,x} t^n/(1-t) dt -> 0 (n->；∞)（較複雜）。

故x在[-1,1）內且x≠0時，S(x) = ln(1-x)/x + 1，而S(0)=1。