一元二次方程應該怎麼解

一元二次方程的兩個根可以通過因式分解法和十字相乘法解出。 1、因式分解法：又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種），另外還有“十字相乘法”，因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內容在八年級

一元二次方程怎麼解，一起來看看吧。

方法

直接開平方法

一元二次方程解法 1.配方法 （可解全部一元二次方程） 如：解方程：x^2+2x－3=0 把常數項移項得：x^2+2x=3 等式兩邊同時加1（構成完全平方式）得：x^2+2x+1=4 因式分解得：（x+1)^2=4 解得：x1=-3,x2=1 用配方法解一元二次方程小口訣 二次係數化

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。 

對於如下的一元二次方程： ax*x+bx+c=0設計C語言程式，輸入一元二次方程的三個係數a、b、c，求解出該方程的兩個根，並且允許使用者在程式中多次輸入不同的係數，以求解不同的一元二次方程的解。程式設計思路分析:對於該方程，令delta=b^2-4*a*c，從數

直接開平方法適用於解形如的一元二次方程，根據平方根的定義可知，x+a 是b的平方根，當時，；當b<0時，方程沒有實數根。 

一元二次方程一般有2個解。 只含有一個未知數（一元），並且未知數項的最高次數是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程經過整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）。其中ax²叫作二次項，a是二次項係數；bx叫作一次項，b

用直接開平方法求一元二次方程的根，一定要正確運用平方根的性質，即正數的平方根有兩個，它們互為相反數，零的平方根是零，負數沒有平方根。

配方法 將一元二次方程配成（x+m）^2=n的形式，再利用直接開平方法求解的方法。 （1）用配方法解一元二次方程的步驟： ①把原方程化為一般形式； ②方程兩邊同除以二次項係數，使二次項係數為1，並把常數項移到方程右邊； ③方程兩邊同時加上一次項

配方法

配方法是一種重要的數學方法，它不僅在解一元二次方程上有所應用，而且在數學的其他領域也有著廣泛的應用。 配方法的理論根據是完全平方公式，把公式中的a看做未知數x，並用x代替，則有 。

有三種方法： 一、配方法 二、因式分解法 三、公式法 舉例如下： x²-4x+3=0 方法一： (x-2)²-4+3=0 (x-2)²-1=0 (x-2)²=1 x-2=±1 x1=3 x2=1 方法二： (x-1)(x-3)=0 x1=1 x2=3 方法三： x=[4±√(-4)²-4×3]/2 x=(4±2)&

公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

解一元二次方程的格式寫法如下。 先寫成 ax²+bx+c=0的形式，計算△=b²-4ac，判斷△是否大於0，如果小於0無解，然後就可以直接寫求根公式。 一元二次方程：只含有一個未知數（一元），並且未知數項的最高次數是2（二次）的整式方程叫做一

一元二次方程 的求根公式：求根公式是專門用來解一元二次方程的，故首先要求a≠0；有因為開平方運算時，被開方數必須是非負數，所以第二個條件是b2-4ac≥0。即求根公式使用的前提條件是a≠0且b2-4ac≥0。

#include #include void main() { double a,b,c,d,e,x1,x2; cout

因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。

#include #include int main(void) { double a,b,c,x1,x2,d; scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c); d = b * b - 4 * a * c; if(d > 0) { x1 = (-1 * b + sqrt(d)) / (2 * a); x2 = (-1 * b - sqrt(d)) / (2 * a); printf("x1 = %g,x2 = %gn",x1,x2); }

擴充套件閱讀，以下內容您可能還感興趣。

怎樣用C語言編一個解一元二次方程的程式？

#include <stdio.h>

#include <math.h>

int main(void)

{

double a,b,c,x1,x2,d;

scanf("%lf%lf%lf",&a,&b,&c);

d = b * b - 4 * a * c;

if(d > 0)

{

x1 = (-1 * b + sqrt(d)) / (2 * a);

x2 = (-1 * b - sqrt(d)) / (2 * a);

printf("x1 = %g,x2 = %gn",x1,x2);

}

else if(d = 0)

{

x1 = x2 = (-1 * b) / (2 * a);

printf("x1 = %g,x2 = %gn",x1,x2);

}

else

{printf("方程沒百有實根度n");

{return();}

哪有無關知內容？最後一道句return那個內是返回值容好吧

一元二次方程怎麼解

一元二次方程的解法

一、知識要點：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是國中數學的一個重點內容，也是今後學習數學的基

礎，應引起同學們的重視。

一元二次方程的一般形式為：ax2+bx+c=0, (a≠0)，它是隻含一個未知數，並且未知數的最高次數是2

的整式方程。

解一元二次方程的基本思想方法是通過“降次”將它化為兩個一元一次方程。一元二次方程有四種解

法：1、直接開平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。

二、方法、例題精講：

1、直接開平方法：

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)2=n (n≥0)的

方程，其解為x=m± .

例1．解方程（1）(3x+1)2=7 （2）9x2-24x+16=11

分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做，（2）方程左邊是完全平e799bee5baa6e997aee7ad94e59b9ee7ad9431333166353063方式(3x-4)2，右邊=11>0，所以

此方程也可用直接開平方法解。

（1）解：(3x+1)2=7×

∴(3x+1)2=5

∴3x+1=±(注意不要丟解)

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

（2）解： 9x2-24x+16=11

∴(3x-4)2=11

∴3x-4=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2=

2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0 (a≠0)

先將常數c移到方程右邊：ax2+bx=-c

將二次項係數化為1：x2+x=-

方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方：x2+x+( )2=- +( )2

方程左邊成為一個完全平方式：(x+ )2=

當b2-4ac≥0時，x+ =±

∴x=(這就是求根公式)

例2．用配方法解方程 3x2-4x-2=0

解：將常數項移到方程右邊 3x2-4x=2

將二次項係數化為1：x2-x=

方程兩邊都加上一次項係數一半的平方：x2-x+( )2= +( )2

配方：(x-)2=

直接開平方得：x-=±

∴x=

∴原方程的解為x1=,x2= .

3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然後計算判別式△=b2-4ac的值，當b2-4ac≥0時，把各項

係數a, b, c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

例3．用公式法解方程 2x2-8x=-5

解：將方程化為一般形式：2x2-8x+5=0

∴a=2, b=-8, c=5

b2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0

∴x= = =

∴原方程的解為x1=,x2= .

4．因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓

兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個

根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4．用因式分解法解下列方程：

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）

(1)解：(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解：2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0，x2=-是原方程的解。

注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解：6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 ·2 ，∴此題可用因式分解法）

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小結：

一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般

形式，同時應使二次項係數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式

法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程

是否有解。

配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是國中要求掌握的三種重要的數學方

法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法）。

例5．用適當的方法解下列方程。(選學）

（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0

（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差

公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。

（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

（3）化成一般形式後利用公式法解。

（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。

（1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

（2）解： x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3，x2=1

（3）解：x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=

∴x1=,x2=

（4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學）

分析：此方程如果先做乘方，乘法，合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我

們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方

法）

解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0

解：x2+px+q=0可變形為

x2+px=-q (常數項移到方程右邊)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)

(x+)2= (配方)

當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

當p2-4q<0時，<0此時原方程無實根。

說明：本題是含有字母系數的方程，題目中對p, q沒有附加條件，因此在解題過程中應隨時注意對字母

取值的要求，必要時進行分類討論。

練習：

（一）用適當的方法解下列方程：

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

（二）解下列關於x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

練習參*：

（一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=

6.解：（把2x+3看作一個整體，將方程左邊分解因式）

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

（二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

測試

選擇題

1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ）

A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5

2．多項式a2+4a-10的值等於11，則a的值為（ ）。

A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7

3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項係數，一次項係數和常數項之和等於零，那麼方程必有一個

根是（ ）。

A、0 B、1 C、-1 D、±1

4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為（ ）。

A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0

C、b=0且c=0 D、c=0

5． 方程x2-3x=10的兩個根是（ ）。

A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5

6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。

A、 B、 C、 D、無實根

7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。

A、x= B、x=-

C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=-

8． 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後，所得的方程是（ ）。

A、(x-)2= B、(x- )2=-

C、(x- )2= D、以上答案都不對

9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解該方程配方後的方程是（ ）。

A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1

答案與解析

答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D

解析：

1．分析：移項得：(x-5)2=0，則x1=x2=5,

注意：方程兩邊不要輕易除以一個整式，另外一元二次方程有實數根，一定是兩個。

2．分析：依題意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.

3．分析：依題意：有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時， ax2+bx+c=a+b+c，意味著當x=1

時，方程成立，則必有根為x=1。

4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零，

則ax2+bx+c必存在因式x，則有且僅有c=0時，存在公因式x，所以 c=0.

另外，還可以將x=0代入，得c=0，更簡單！

5．分析：原方程變為 x2-3x-10=0,

則(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2.

6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，則原方程無實根。

7．分析：2x2=0.15

x2=

x=±

注意根式的化簡，並注意直接開平方時，不要丟根。

8．分析：兩邊乘以3得：x2-3x-12=0，然後按照一次項係數配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2，

整理為：(x-)2=

方程可以利用等式性質變形，並且 x2-bx配方時，配方項為一次項係數-b的一半的平方。

9．分析：x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1

則(x-1)2=m+1.

會考解析

考題評析

1．（甘肅省）方程的根是（ ）

（A） （B） （C） 或 （D） 或

評析：因一元二次方程有兩個根，所以用排除法，排除A、B選項，再用驗證法在C、D選項中選出正確

選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項A、B是隻考慮了一方面忘記了一元

二次方程是兩個根，所以是錯誤的，而選項D中x=－1，不能使方程左右相等，所以也是錯誤的。正確選項為

C。

另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式，使得方程丟根，這種錯誤要避免。

2．（吉林省）一元二次方程的根是__________。

評析：思路，根據方程的特點運用因式分解法，或公式法求解即可。

3．（遼寧省）方程的根為（ ）

（A）0 （B）–1 （C）0，–1 （D）0，1

評析：思路：因方程為一元二次方程，所以有兩個實根，用排除法和驗證法可選出正確選項為C，而A、

B兩選項只有一個根。D選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4．（河南省）已知x的二次方程的一個根是–2，那麼k=__________。

評析：k=4.將x=-2代入到原方程中去，構造成關於k的一元二次方程，然後求解。

5．（西安市）用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為（ ）

（A）x=3+2 （B）x=3-2

（C）x1=3+2 ,x2=3-2 （D）x1=3+2,x2=3-2

評析：用解方程的方法直接求解即可，也可不計算，利用一元二次方程有解，則必有兩解及8的平方

根，即可選出答案。

課外拓展

一元二次方程

一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一個未知數且未知數的最高次項是二

次的整式方程。 一般形式為

ax2+bx+c=0, (a≠0)

在公元前兩千年左右，一元二次方程及其解法已出現於古巴比倫人的泥板文書中：求出一個數使它與它

的倒數之和等於 一個已給數，即求出這樣的x與，使

x=1, x+ =b,

x2-bx+1=0,

他們做出( )2；再做出 ，然後得出解答：+ 及 - 。可見巴比倫人已知道一元二次

方程的求根公式。但他們當時並不接受 負數，所以負根是略而不提的。

埃及的紙草文書中也涉及到最簡單的二次方程，例如：ax2=b。

在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。

希臘的丟番圖（246-330）卻只取二次方程的一個正根，即使遇到兩個都是正根的情況，他亦只取其中

之一。

公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的《婆羅摩修正體系》中，得到二次方程x2+px+q=0的一個求根公

式。

在阿拉伯阿爾．花拉子米的《代數學》中討論到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六種

不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成

不同形式作討論，是依照丟番圖的做法。阿爾．花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一 次

給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在，但卻未有虛根的認識。十六世紀義大利的

數學家們為了解三次方程而開始應用複數根。

韋達（1540-1603）除已知一元方程在複數範圍內恆有解外，還給出根與係數的關係。

我國《九章算術．勾股》章中的第二十題是通過求相當於 x2+34x-71000=0的正根而解決的。我國數學

家還在方程的研究中應用了內插法。

卡西歐計算器如何解1元2次方程?

以（X-5）（X+7）=0為例

1.按zdmode進入系統

2.點選2：stat

3.選二次方程，第3個

4.輸入三個座標（-1,0,1）

5.點選AC，返回專

6.空白處輸入0

6.按Fhift+1進入分析模式

7.選第5個

8.選X1或X2

9.按下= ，檢視結果

10.確實的方程（屬X-5）（X+7）=0的根

11.若方程無根則顯示“資料錯誤”

CASIO fx-82ES如何解一元一次方程、一元二次方程？

對於解一元一次方程

下面用的標準式：ax b=c

1、首先進入STAT模式

2.按[2]（A BX）

3.第一行X列輸入0

4.第二行X列輸入a,Y列輸入c-b

5.[AC][SHIFT][1][5](Reg)

6.B即為方程的解

對於解一元二次方程：

化為一般式（y=ax^2+bx+c）後套求根公式x=(-b+-根號(b^2-4ac))/2a

另附：對於解部分二元聯立方程組：

注：{}中的數字為進入STAT模式後需選擇的迴歸型別。

{2} ax+y=b,cx+y=d

{6} x*y^a=b,x*y^c=d

{7} x*a^y=b,x*c^y=d

1、進入STAT

2.進入對應的迴歸型別

3.第一行X、Y兩列分別輸入a、b

4.第二行分別輸入c、d

5.[AC][SHIFT][1][5](Reg)

6.A為解出來的x，B為解出來的y

擴充套件資料：

一、CASIO fx-82ES是卡西歐(CASIO)公司推出的fx-82ES科學計算器，能夠按照自然書寫格式進行輸入和顯示，並且具備表格、進行函式運算、計算函式在某一點的導數、進行概率與統計e5a48de588b6e79fa5e9819331333431353935的相應運算等多種功能。

二、功能介紹

●計算功能：249（160） 變數：7 代數：S-V.P.A.M

●分數：有 統計：有 方程式：無

●積分值：無 微分計算：無 複數：無

●向量：無 矩陣功能：無 重現功能：多步重現

●多步重現功能

●自然書寫顯示

●多步重現功能

●自然規範顯示

●分數計算

●組合和排列

●統計（資料編輯，標準偏差，迴歸分析）

●7個變數儲存器

●塑料按鍵

●帶有新型滑動硬殼

●舊版fx-82 PLUS為錯誤資訊英語提示

●新版fx-82 PLUS A為錯誤資訊中文提示

三、使用注意事項

●第一次使用計算器時，請確定按下on鍵。

● 即使計算器的操作一切正常，仍需至少每三年更換一次電池。過期的電池可能會洩漏，造成計算器損壞或功能不正常。千萬不要將過期的電池放在計算器內。

●隨計算器所附的電池，在儲存和運送過程中可能會損失輕微的電力。它可能需要比一般正常電池壽命少，稍早些更換。

●不充足的電力可能會使記意器內容損壞或永遠消失。對於重要的資料應始終保有畫面的記錄。

●避免在超過溫度極限的地區儲存或使用計算器。在非常低溫下使用可能會造成顯示延遲，或顯示幕完全損壞，並使電池壽命縮短。另外也要避免計算器受到日光直射，靠近窗戶，靠近電熱器或任何暴露於高溫的地方。高溫可能會造成計算器機殼褪色或變形，並造成內部電路損壞。

●避免在高溼度和高灰塵的地區儲存或使用計算器。小心不要讓計算器被潑到水，或是暴露於高溼度和高灰塵的環境。這種情況會損壞內部電路。

●請不要摔計算器或是讓它受到強力的重擊。

●請不要扭轉或彎曲計算器。請不要將計算器放置於長褲的口袋內，或其他緊身的衣物內，因為這樣可能會讓計算器扭曲或彎曲。

●千萬不要將計算器拆開。

●不要用原子筆或其他尖銳的物品按計算器的按鍵。

●使用軟質、清示波器的乾布清潔計算器的外部。假如計算器很髒，請用家用性清潔劑和水稀釋的溶液浸溼的軟布擦拭。擦拭計算器前先擠掉過多的水份。千萬不可使用稀釋劑、苯或其他揮發性溶劑來清潔計算器。這樣會擦掉印刷的圖樣並損壞計算器外殼。

參考資料：百度百科-卡西歐fx-82es計算器

一元二次方程怎麼解

一元二次方程的一般解法有以下636f70797a686964616f31333363353737幾種：配方法（可解部分一元二次方程）公式法（在國中階段可解全部一元二次方程，前提：△≥0）因式分解法（可解部分一元二次方程）直接開平方法（可解全部一元二次方程）直接開平方法直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解為x=m±√n。例1：解方程（1）(3x+1)^2=7；（2）9x^2-24x+16=11分析：（1）此方程顯然用直接開平方法好做；（2）方程左邊是完全平方式(3x-4)^2，右邊=110，所以此方程也可用直接開平方法解。（1）解：(3x+1)^2=7∴(3x+1)^2=7∴3x+1=±√7（注意不要丟解）∴x=(±√7-1)/3∴原方程的解為x1=(√7-1)/3，x2=(-√7-1)/3（2）解：9x^2-24x+16=11　　∴(3x-4)^2=11　　∴3x-4=±√11　　∴x=(±√11+4)/3　　∴原方程的解為x1=(√11+4)/3,x2=(-√11+4)/3配方法用配方法解方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的步驟：先將常數c移到方程右邊；將二次項係數化為1；方程兩邊分別加上一次項係數的一半的平方；方程左邊成為一個完全平方式，右邊成為一個常數；如果右邊是非負數，即可進一步通過直接開平方法求出它的解，如果右邊是一個負數，則判定此方程無實數解。例2：用配方法解方程3x^2-4x-2=0解：將常數項移到方程右邊，得：3x^2-4x=2　　將二次項係數化為1，得：x^2-4/3x=2/3　　方程兩邊都加上一次項係數一半的平方，得：x^2-4/3x+4/9=10/9　　配方得：(x-2/3)^2=10/9　　直接開平方得：x-2/3=±√10/3　　∴x=±√10/3+2/3　　∴原方程的解為x1=(√10+2)/3，x2=(2-√10)/3公式法把一元二次方程化成ax^2+bx+c的一般形式，然後把各項係數a,b,c的值代入求根公式就可得到方程的根。一元二次方程的求根公式為：當b^2-4ac0時，求根公式為x1=[-b+√(b^2-4ac)]/2a，x2=[-b-√(b^2-4ac)]/2a（兩個不相等的實數根）當b^2-4ac=0時，求根公式為x1=x2=-b/2a（兩個相等的實數根）當b^2-4ac0時，求根公式為x1=[-b+√(4ac-b^2)i]/2a，x2=[-b-√(4ac-b^2)i]/2a（兩個共軛的虛數根）（國中理解為無實數根）例3：用公式法解方程2x^2-8x=-5解：將方程化為一般形式，得：2x^2-8x+5=0　　∴a=2，b=-8，c=5　　∵b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=240　　∴x=(8±2√6)/4　　∴原方程的解為x1=2+√6/2，x2=2-√6/2因式分解法把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。例4：用因式分解法解下列方程：（1）(x+3)(x-6)=-8；（2）2x^2+3x=0；（3）6x^2+5x-50=0（選學）；（4）x^2-4x+4=0（選學）（1）解：(x+3)(x-6)=-8化簡整理得：　　x^2-3x-10=0（方程左邊為二次三項式，右邊為零）　　(x-5)(x+2)=0（方程左邊分解因式）　　∴x-5=0或x+2=0（轉化成兩個一元一次方程）　　∴x1=5，x2=-2是原方程的解。（2）解：2x^2+3x=0化簡整理得：　　x(2x+3)=0（用提公因式法將方程左邊分解因式）　　∴x=0或2x+3=0（轉化成兩個一元一次方程）　　∴x1=0，x2=-3/2是原方程的解。　　注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。（3）解：6x^2+5x-50=0化簡整理得：　　(2x-5)(3x+10)=0（十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯）　　∴2x-5=0或3x+10=0　　∴x1=5/2，x2=-10/3是原方程的解。（4）解：x^2-4x+4=0　　(x-2)^2=0（完全平方公式）　　∴x1=x2=2是原方程的解。影象法一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的幾何意義是二次函式y=ax^2+bx+c的影象（為一條拋物線）與x軸交點的x座標。當b^2-4ac＞0時，該函式與x軸相交（有兩個交點）；當b^2-4ac=0時，該函式與x軸相切（有且僅有一個交點）；當b^2-4ac＜0時，該函式與x軸相離（沒有交點）。另外一種解法是把一元二次方程ax^2+bx+c=0化為x^2=(-b/a)x-c/a的形式。則方程ax^2+bx+c=0的根，就是函式y=x^2和y=(-b/a)x-c/a交點的x座標。通過作圖，可以得到一元二次方程的近似值。小結一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般形式，同時應使二次項係數化為正數。直接開平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定係數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程是否有解。配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是國中要求掌握的三種重要的數學方法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定係數法）