利用泰勒公式求極限，怎麼做 怎麼用泰勒公式求極限

就是記住那五六個基本函式的展開式，遇到類似的函式極限時，如果等價無窮小和羅比達法則什麼的不好用或者較複雜時，可以考慮泰勒級數展開求極限，至於展開到幾階，一般視分子或者分母而定，如果是兩個相加或者相減函式的展開，那麼就是展開，遇到係數不為零的那個無窮小出現為止。

lim(x–>0){1+1/2(x^2)-(1+x^2)^(1/2)}/{(cosx-e^(x^2))sin(x^2)}

首先分子中的（1+x^2）^(1/2)這一項需要進行展開，由於分子中還有1+1/2(x^2)這一項，所以你只需要把他展開到x的4次項就可以了。這也就是我前面所講的展開到係數不為零的那一項出現為止

然後，由於分子等價於x^4/8，所以分母也往這個方向靠就行了。由於分母中有一個sin(x*x)等價於x^2，所以前面的cosx-e^(x^2)當然也僅需要展開到x的2次方項就可以了。

因為cosx-------1-0.5x*x

e^x---------x

把上述等價無窮小帶入分母即可，答案應該是 -1/12

(2) y → 0時， √（1+y） = 1+y/2-y^/8+o(y^2)，因此x → 0時√（1+x^2） = 1+x^2/2-x^4/8+o(x^4)，即分子√（1+x^2）-1-x^2/2 = -x^4/8+o(x^4).y → 0時， e^y = 1+y+o(y^2)，因此x → 0時e^(x^2) = 1+x^2+o(x^2).又cos(x) = 1-x^2/2+o(x^2)，故e^(x^2)-cos(x) = 3x^2/2+o(x^2)，可得x^2·（e^(x^2)-cos(x)) = 3x^4/2+o(x^4).因此x → 0時（√（1+x^2）-1-x^2/2)/(x^2·（e^(x^2)-cos(x)))= (-x^4/8+o(x^4))/(3x^4/2+o(x^4))= (-1/8+o(1))/(3/2+o(1)）→ -1/12.又x → 0時， sin(x^2)/x^2 → 1，相除即得所求極限為-1/12.(3) 由正切差角公式， tan(arctan(x+1)-arctan(x)) = 1/(1+x+x^2)，可得arctan(x+1)-arctan(x) = arctan(1/(1+x+x^2)）.由y → 0時， arctan(y) = y+o(y).因此x → +∞時， arctan(1/(1+x+x^2)) = 1/(1+x+x^2)+o(1/(1+x+x^2)),x^2·arctan(1/(1+x+x^2)) = x^2/(1+x+x^2)+o(x^2/(1+x+x^2)） → 1。