勾股定理由來

“勾股定理”在西方被稱為畢達哥拉斯定理，相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯於公元前550年首先發現的。還有一種說法是，“勾股定理”商高是我國古代西周時期的一位數學家。他在公元前1000年發現勾股定理的一個特例：勾三，股四，弦五。所以有人說，其實勾股定理是中國數學家的獨立發明，在中國早有記載。另外，最早發現''勾三股四弦五''這一特殊關係可能是古埃及人，這一事實可以追溯到公元前25世紀。

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關於勾股定理的來歷

勾股定理的來歷如下：

1、勾股定理在西方被稱為畢達哥拉斯定理,相傳是古希臘數學家兼哲學家畢達哥拉斯於公元前550年首先發現的。

2、中國最早的一部數學著作《周髀算經》的開頭，記載著一段周公向商高請教數學知識的對話，可表明中國早在公元前1100年左右的西周時期就以提出了勾股定理，比畢達哥拉斯要早了五百多年。

3、勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

4、勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。

勾股定律的來歷,歷史及相關資料

來歷及歷史：

1、中國，公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出“勾三、股四、弦五”。《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據該典故稱勾股定理為商高定理。

公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，記錄於《九章算術》中“勾股各自乘，並而開方除之，即弦”，趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。後劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。 

在中國清朝末年，數學家華蘅芳提出了二十多種對於勾股定理證法。

2、遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股陣列。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。古埃及人在建築巨集偉的金字塔和測量尼羅河氾濫後的土地時，也應用過勾股定理。

公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理為畢達哥拉斯定理。

1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的一個證法。

1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。

二、相關資料

勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形為勾股形，並且直角邊中較小者為勾，另一長直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。

設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那麼可以用數學語言表達：

擴充套件資料：

勾股定理存在的意義：

1、勾股定理的證明是論證幾何的發端。

2、勾股定理是歷史上第一個把數與形聯絡起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯絡起來的定理。

3、勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解。

4、勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理。

5、勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用。

參考資料來源：百度百科-勾股數

百度百科-勾股定理

勾股定理是什麼

勾股定理:

在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定 古埃及人利用打結作RT三角形理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。

定理：

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麼 a^2+b^2=c^2； 即直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。

如果三角形的三條邊a，b，c滿足a^2+b^2=c^2，如：一條直角邊是3，一條直角邊是4，斜邊就是3×3+4×4=X×X，X=5。那麼這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）

勾股定理的來源：

畢達哥拉斯樹畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，又給出了另外一個證明[5]。法國和比利時稱為驢橋定理，埃及稱為埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

有關勾股定理書籍

《數學原理》人民教育出版社

《探究勾股定理》同濟大學出版社

《優因培教數學》北京大學出版社

《勾股模型》 新世紀出版社

《九章算術一書》

《優因培揭祕勾股定理》江西教育出版社

畢達哥拉斯樹

畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重複的圖形。又因為重複數次後的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹。

直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。

兩個相鄰的小正方形面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。

利用不等式A2+B2≥2AB

三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於一個小正方形面積的二分之一。 [編輯本段]最早的勾股定理應用　　 從很多泥板記載表明，巴比倫人是世界上最早發現“勾股定理”的，這裡只舉一例。例如公元前1700年的一塊泥板（編號為BM85196）上第九題，大意為“有一根長為5米的木樑（AB）豎直靠在牆上，上端（A）下滑一米至D。問下端（C）離牆根（B）多遠？”他們解此題就是用了勾股定理，如圖

設AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，則BD=l-h=5-1米=4米

∴a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5為邊的勾股三角形。 [編輯本段]《周髀算經》中勾股定理的公式與證明　　《周髀算經》算經十書之一。約成書於公元前二世紀，原名《周髀》，它是我國最古老的天文學著作，主要闡明當時的蓋天說和四分曆法。唐初規定它為國子監明算科的教材之一，故改名《周髀算經》。

首先，《周髀算經》中明確記載了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下為句，日高為股，句股各自乘，並而開方除之，得邪至日”（《周髀算經》上卷二）

而勾股定理的證明呢，就在《周髀算經》上卷一[1] ——

昔者周公問於商高曰：“竊聞乎大夫善數也，請問昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”

商高曰：“數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數之所生也。”

周公對古代伏羲（包犧）構造周天歷度的事蹟感到不可思議（天不可階而升，地不可得尺寸而度），就請教商高數學知識從何而來。於是商高以勾股定理的證明為例，解釋數學知識的由來。

《周髀算經》證明步驟“數之法出於圓方，圓出於方，方出於矩，矩出於九九八十一。”：解釋發展脈絡——數之法出於圓（圓周率三）方（四方），圓出於方（圓形面積=外接正方形*圓周率/4），方出於矩（正方形源自兩邊相等的矩），矩出於九九八十一（長乘寬面積計算依自九九乘法表）。

“故折矩①，以為句廣三，股修四，徑隅五。”：開始做圖——選擇一個 勾三（圓周率三）、股四（四方） 的矩，矩的兩條邊終點的連線應為5（徑隅五）。

“②既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。”：這就是關鍵的證明過程——以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方），根據矩的弦外面再畫一個矩（曲尺，實際上用作直角三角），將“外半其一矩”得到的三角形剪下環繞複製形成一個大正方形，可看到其中有 邊長三勾方、邊長四股方、邊長五絃方 三個正方形。

“兩矩共長③二十有五，是謂積矩。”：此為驗算——勾方、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來看，大正方形減去四個三角形面積後為弦方，再是 大正方形 減去 右上、左下兩個長方形面積後為 勾方股方之和。因三角形為長方形面積的一半，可推出 四個三角形面積 等於 右上、左下兩個長方形面積，所以 勾方+股方=弦方。

注意：

① 矩，又稱曲尺，L型的木匠工具，由長短兩根木條組成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的長方形。

② “既方之，外半其一矩”此句有爭議。清代四庫全書版定為“既方其外半之一矩”，而之前版本多為“既方之外半其一矩”。經陳良佐[2]、李國偉[3]、李繼閔[4]、曲安京[5]等學者研究，“既方之，外半其一矩”更符合邏輯。

③ 長指的是面積。古代對不同維度的量綱比較，並沒有發明新的術語，而統稱“長”。趙爽注稱:“兩矩者, 句股各自乘之實。共長者, 並實之數。

由於年代久遠，周公弦圖失傳，傳世版本只印了趙爽弦圖（造紙術在漢代才發明）。所以某些學者誤以為商高沒有證明（只是說了一段莫名其妙的話），後來趙爽才給出證明。

其實不然，摘錄趙爽註釋《周髀算經》時所做的《句股圓方圖》[1]——“句股各自乘, 並之為弦實, 開方除之即弦。案: 弦圖又可以句股相乘為朱實二, 倍之為朱實四, 以句股之差自相乘為中黃實, 加差實亦成弦實。”

趙爽弦圖注意“案”中的“弦圖又可以”、“亦成弦實”，“又”“亦”二字表示趙爽認為勾股定理還可以用另一種方法證明，於是他給出了新的證明。

下為趙爽證明——

青朱出入圖三角形為直角三角形，以勾a為邊的正方形為朱方，以股b為邊的正方形為青方。以盈補虛，將朱方、青放併成弦方。依其面積關係有a^2+b^2=c^2.由於朱方、青方各有一部分在玄方內，那一部分就不動了。

以勾為邊的的正方形為朱方，以股為邊的正方形為青方。以贏補虛，只要把圖中朱方（a2）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，則剛好拼好一個以弦為邊長的正方形（c……2 ）．由此便可證得a^+b^2=c^2; [編輯本段]伽菲爾德證明勾股定理的故事　　1876年一個週末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。他走著走著，突然發現附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談論著什麼，時而大聲爭論，時而小聲探討。由於好奇心驅使，伽菲爾德循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在幹什麼。只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在幹什麼？那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答道：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方．”小男孩說：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。，伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他出的難題。他經過反覆思考與演算，終於弄清了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。

如下:

解：在網格內，以兩個直角邊為邊長的小正方形面積和，等於以斜邊為邊長的的正方形面積。

勾股定理的內容：直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方，

a的平方+b的平方=c的平方;

說明：我國古代學者把直角三角形的較短直角邊稱為“勾”，較長直角邊為“股”，斜邊稱為“弦”，所以把這個定理成為“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形邊之間的關係。

舉例：如直角三角形的兩個直角邊分別為3、4，則斜邊c的平方;= a的平方+b的平方=9+16=25即c=5

則說明斜邊為5。

[編輯本段]勾股定理的種證明方法　　這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。

有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函式的泰勒級數）來證明勾股定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明（參見迴圈論證）。

【證法1】（梅文鼎證明）

做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P.

∵ D、E、F在一條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,

∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，

∴ ABEG是一個邊長為c的正方形.

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,

∴ ∠ABC = ∠EBD.

∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一個邊長為a的正方形.

同理，HPFG是一個邊長為b的正方形.

設多邊形GHCBE的面積為S，則

,

∴ .

【證法2】（項明達證明）

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在一條直線上.

過點Q作QP∥BC，交AC於點P.

過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點

F作FN⊥PQ，垂足為N.

∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90°，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90°，

∴ BCPM是一個矩形，即∠MBC = 90°.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.

【證法3】（趙浩傑證明）

做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做一個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形.

分別以CF，AE為邊長做正方形FCJI和AEIG，

∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，

∴FI=a，

∴G,I,J在同一直線上，

∵CJ=CF=a，CB=CD=c，

∠CJB = ∠CFD = 90°，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，

同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，

∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,

∵∠BCJ +∠CBJ= 90°,

∴∠ABG +∠CBJ= 90°,

∵∠ABC= 90°,

∴G,B,I,J在同一直線上，

【證法4】（歐幾里得證明）

做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在一條直線上，連結

BF、CD. 過C作CL⊥DE，

交AB於點M，交DE於點L.

∵ AF = AC，AB = AD，

∠FAB = ∠GAD，

∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，

∵ ΔFAB的面積等於，

ΔGAD的面積等於矩形ADLM

的面積的一半，

∴ 矩形ADLM的面積 =.

同理可證，矩形MLEB的面積 =.

∵ 正方形ADEB的面積

= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積

∴ 即a的平方+b的平方=c的平方

【證法5】歐幾里得的證法

《幾何原本》中的證明

在歐幾里得的《幾何原本》一書中提出勾股定理由以下證明後可成立。 設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊上的正方形。此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在正式的證明中，我們需要四個輔助定理如下：

如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。 任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。 任意一個四方形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。 證明的概念為：把上方的兩個正方形轉換成兩個同等面積的平行四邊形，再旋轉並轉換成下方的兩個同等面積的長方形。

其證明如下：

設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。 其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。 分別連線CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。 因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。 因為 A 與 K 和 L是線性對應的，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。 因為C、A和G有共同線性，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。 因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB^2。 同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC^2。 把這兩個結果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的 [編輯本段]勾股定理的別名　　勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有著極為廣泛的應用。正因為這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。我國古代數學家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”．因此，勾股定理在我國又稱“商高定理”．在公元前7至6世紀一中國學者陳子，曾經給出過任意直角三角形的三邊關係即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得邪至日。

在法國和比利時，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理．為了慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”．

前任美國第二十屆總統伽菲爾德證明了勾股定理（1876年4月1日）。

勾股定理的由來 勾股定理是怎麼來的

1、勾股定理是一個基本的幾何定理，在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，又給出了另外一個證明。直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長平方和等於斜邊（即“弦”）邊長的平方。

2、也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼a2+b2=c2。勾股定理現發現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。趙爽在註解《周髀算經》中給出了“趙爽弦圖”證明了勾股定理的準確性，勾股陣列呈a2 + b2 = c2的正整陣列(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股數。