如何因式分解三次多項式

目錄部分1：通過組合來分解1、把多項式分成兩部分。2、找出每項中的公因子。3、把公因子提取出來。4、這兩大項要是含有同樣因子，可以直接合並。5、觀察根，得出解。部分2：利用自由項1、把多項式整理為ax+bx+cx+d。2、把所有 "d"的因數找出來。3、找出一個因子，讓多項式等於零。4、重新整理一下，如果x = 1，可以把整個方程改一下面目。5、把剩餘的因數都分解出來。6、繼續用自由項因數因式分解。7、於是得到的解就是之前算出來的因數了。這篇文章教你怎麼因式分解三次多項式。我們要學會如何用組合方法和因式分解自由項的方法來解這類問題。

部分1：通過組合來分解

1、把多項式分成兩部分。分組後分開解決。比如要分解多項式x + 3x - 6x - 18 = 0。可以把它分解為 (x + 3x)和 (- 6x - 18)

2、找出每項中的公因子。在(x + 3x)中，x是公因子。

在(- 6x - 18)中， -6 是公因數。

3、把公因子提取出來。把x從第一項提出來，得出x(x + 3)。

把-6 從第二項提出來，得出-6(x + 3)。

4、這兩大項要是含有同樣因子，可以直接合並。得到(x + 3)(x - 6)。

5、觀察根，得出解。 若在開根的時候有x，記得可能有正負兩解。得出-3、√6和-√63。

部分2：利用自由項

1、把多項式整理為ax+bx+cx+d。比如要分解多項式：x - 4x - 7x + 10 = 0。

2、把所有 "d"的因數找出來。常數"d"是不含如"x"變數的數。因數就是可以相乘得到另一個數的數。這裡，10或 "d"的因數是: 1、 2、 5 和 10。

3、找出一個因子，讓多項式等於零。當用d的因數替代"x"時，我們要看看哪個符合方程的解。試試第一個因數 1 ，把x替換掉，得到 (1) - 4(1) - 7(1) + 10 = 0

得到 1 - 4 - 7 + 10 = 0。

因為 0 = 0 是真實的，所以x = 1 是一個解。

4、重新整理一下，如果x = 1，可以把整個方程改一下面目。"x = 1" 等價於"x - 1 = 0" 或 "(x - 1)" 。我們剛剛從每邊都減掉了一個1。

5、把剩餘的因數都分解出來。 "(x - 1)" 是我們的一個根，看看能不能把剩餘的解都提出來，一次解決一個多項式。可不可以把(x - 1) 從 x 提出來？ 不行，但是可以從第二項借一個 -x ，分解為 x(x - 1) = x - x。

可不可以把(x - 1) 從剩餘部分提出來？不行，要從第三項 -7x 借一個 3x。於是得到-3x(x - 1) = -3x + 3x。

因為 -7x 中提取出一個 3x，第三項變為 -10x ，而我們的常數是10。可以分解嗎？可以！ -10(x - 1) = -10x + 10。

我們改變了一些變數，讓其可以分解出 (x - 1) 。重新整理的方程是這樣的： x - x - 3x + 3x - 10x + 10 = 0 ，但和原先 x - 4x - 7x + 10 = 0 沒什麼差別。

6、繼續用自由項因數因式分解。仔細觀察我們在第五步中用(x - 1) 因式分解出的數字：x(x - 1) - 3x(x - 1) - 10(x - 1) = 0。可以重新整理，要再一次分解容易得多: (x - 1)(x - 3x - 10) = 0。

只需要因式分解(x - 3x - 10) ，得到(x + 2)(x - 5)。

7、於是得到的解就是之前算出來的因數了。可以把每一項都代回去試試看對不對。(x - 1)(x + 2)(x - 5) = 0 表示解是 1、 -2、5。

把-2 代入等式：(-2) - 4(-2) - 7(-2) + 10 = -8 - 16 + 14 + 10 = 0。

把 5 代入等式：(5) - 4(5) - 7(5) + 10 = 125 - 100 - 35 + 10 = 0。

小提示

三次多項式是三個一次多項式的積，或者一個無法分解的二次多項式和一個一次多項式的積。後面的情況，我們將整個等式除以一次多項式得到二次多項式。

三次多項式一定能因式分解得出實數解，因為每個三次項都一定有個實根。三次方多項式如x + x + 1含有無理實根，不能被因式分解成含有整數或有理數係數的多項式。雖然可以用立方方程因式分解，這種方程還是不能分解成一個“整數”多項式。